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Conhecimentos necessários:
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Integral é literalmente o oposto de uma derivada, tanto que alguns chamam de antiderivada.
Se temos a função $f(x) = x^2 + 3$, sabemos que sua derivada é $f'(x) = 2x$. A integral dessa derivada, volta para a função original! Olha só:
$\int 2x \,dx = x^2 + C$
Esse C significa constante, pois, pense comigo: a derivada de uma constante é sempre zero, então não dá pra saber qual seria a constante ou se pelo menos havia alguma constante… então apenas colocamos um C no final!
Esse $dx$ multiplicando no final da integral é para indicar em relação a qual variável estamos integrando. Por exemplo, isso poderia também ter sido escrito assim:
$\int 2t \,dt = t^2 + C$
Mudamos a variável, mas ainda dizemos que estamos integrando em relação a t.
Antes de falar o que exatamente significa, geometricamente, a integral, vamos falar sobre as somas de Riemann!
Figuras simples como retângulos, triângulos, círculos, entre outros, é fácil de calcularmos a área, mas e se tivesse uma figura que não se encaixa em nenhum desses? Fica difícil de calcularmos a área… mas e se recortássemos uns retângulos e colássemos virados na vertical desse triângulos? Aí poderíamos calcular a área desses retângulos e somar! Claro que não ficaria tãooo certinho assim… mas já é alguma coisa!
O que já nos dá a seguinte fórmula:
$\sum \limits_{i=1}^\infty f(x_i) \cdot \Delta x$
Em que $f(x_i)$ é a altura (dada pela função que determina a essa nossa figura) e $\Delta x$ é a base de cada retângulo.
Quanto menor for a base desses retângulos, mais certinho a gente consegue colar na figura… então… e se fazermos a base desses retângulos tenderem a zero? Teríamos uma área extremamente precisa da figura que queremos calcular!
O que nos dá isso daqui:
$A = \lim\limits_{\Delta x \to 0} = \sum \limits_{i=1}^\infty f(x_i) \cdot \Delta x$
E adivinha… isso é justamente a nossa integral! Empolgante, não?
Mas não dá pra calcular a área de uma função inteira, né? Pois ela é infinita… então temos que limitar isso entre um intervalo, então é aí que usamos as integrais chamadas de definidas! Então fazemos assim:
$\int_a^b f(x) \,dx$
Prontinho! Limitamos entre a e b. Mas como fazemos pra encontrar uma área com isso? Vamos pegar o exemplo que vimos lá em cima!
$\int_0^2 2x \,dx$
Vou calcular a área que essa função (2x) tem do momento em que x = 0 até o momento em que x = 2. Então vamos lá:
Já vimos que a integral disso é $x^2 + C$, mas nesse momento iremos ignorar a constante para calcular a área:
$\int_0^2 2x \,dx = x^2|_0^2 = 2^2 - 0^2 = 4 - 0 = 4$
Encontramos a área! Ela é igual a 4.
E é justamente nisso que se consiste a integral definida. Encontrar a integral normalmente e depois disso substituir o valor de x pelo b e subtrair de quando substituímos o valor de x por a.
Obs.: a área é medida em relação ao eixo x. Caso o intervalo esteja abaixo do eixo x, então a área “será negativa”, o que não existe, então basta aplicar um módulo.
Para garantir que uma função seja integrável no intervalo [a, b], precisamos garantir sua integrabilidade observando se há algum desses dois fatos:
Caso a função seja integrável, vimos que é possível calcular sua área através de uma integral, que é onde usamos a integral definida.
Suponha que temos uma função $F(x)$ que quando derivada encontramos a função $f(x)$. Ou seja:
$f(x) = F'(x)$
Então se integrarmos $f(x)$ voltaremos para $F(x)$, certo? Então nesse caso, dizemos que $F(x)$ é a primitiva de $f(x)$.
Dito isso, uma integral indefinida tem o objetivo de conseguir a primitiva de dada função. Por exemplo:
$f(x) = x^3 \Longrightarrow f'(x) = 3x^2$
Usando a integral indefinida, chegamos nisso aqui:
$\int 3x^2 \,dx = x^3 + C$
Para saber melhor como calcular as integrais, recomendo acessar: técnicas de integração.
É dividida em duas partes:
A primeira parte fala especialmente da integral definida:
$\int_a^b f(x) = F(b) - F(a)$
Em que $F(x)$ é a primitiva de $f(x)$
Também podemos escrever isso desta forma:
$\int_a^b f(x)\,dx = F(x)|_a^b$
A segunda parte fala que a derivada de uma integral ou a integral de uma derivada sempre nos dará a função original. Tipo assim:
$\frac{d}{dx} \int f(x) \,dx = \int \frac{d}{dx} f(x) \,dx = f(x)$
…
Para isso, é bem simples:
Suponha que temos a função $f(x)$ e a função $g(x)$. Queremos calcular a área do intervalo [a, b] entre ambas as funções, sendo que $f(x)$, no gráfico, está acima de $g(x)$, ou seja, $f(x) \ge g(x), x \in [a, b]$. Para isso, podemos calcular a área de $f(x)$ e tirar a parte de baixo de $g(x)$, o que resulta nisso aqui:
$\int_a^b f(x) \,dx - \int_a^b g(x) \,dx$
Ou, resumidamente, assim também:
$\int_a^b [f(x) - g(x)] \,dx$
…
…