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Conhecimentos necessários:

Integral e o teorema fundamental do cálculo

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Fontes

Integração imediata

A integração imediata consiste em usar apenas as regras de derivação, mas de forma contrária, por exemplo:

Derivada de $f(x) = x^3$ é $f'(x) = 3x^2$, isso pela regra de derivação de potência.

Para integrar isso, basta fazer o contrário: somar +1 na potência e tudo isso pelo número atual, chegando nisso aqui:

$\int 3x^2 \, dx = \dfrac{3x^{2+1}}{2+1} + C = x^3 + C$

Podemos fazer o inverso para todas as regras de derivação de cabeça ou decorar essas regras de integração:

$\int du = u + C$
$\int u^n \,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C, n \ne -1$
$\int \dfrac{du}{u} = \ln |u| + C$
$\int a^u \,du = \dfrac{a^u}{\ln a} + C, a > 0, a \ne 1$
$\int e^u \,du = e^u + C$
$\int \text{sen } u \,du = -\cos u + C$
$\int \cos u \,du = \text{sen } u + C$
$\int \tg u \,du = \ln |\sec u| + C$
$\int \cotg u \, du = \ln |\text{sen } u| + C$
$\int \sec u \,du = \ln |\sec u + \tg u| + C$
$\int \text{cossec } u \,du = \ln |\text{cossec } u - \cotg u| + C$
$\int \sec u \cdot \tg u \,du = \sec u + C$
$\int \text{cossec } u \cdot \cotg u \,du = -\text{ cossec } u + C$
$\int \sec^2 u \,du = \tg u + C$
$\int - \text{ cossec}^2 \,u \,du = \cotg u + C$
$\int \dfrac{du}{u^2+a^2} \,du = \dfrac{1}{a} \arctg \dfrac{u}{a} + C$
$\int \dfrac{du}{u^2-a^2} \,du = \dfrac{1}{2a} \ln |\dfrac{u-a}{u+a}| + C, u^2 > a^2$
$\int \dfrac{du}{\sqrt{u^2+a^2}} \,du = \ln |u + \sqrt{u^2+a^2}| + C$
$\int \dfrac{du}{\sqrt{u^2-a^2}} \,du = \ln |u + \sqrt{u^2-a^2}| + C$
$\int \dfrac{du}{\sqrt{a^2-u^2}} \,du = \text{arcsen } \dfrac{u}{a} + C, u^2 < a^2$
$\int \dfrac{du}{u\sqrt{u^2-a^2}} \,du = \dfrac{1}{a} \text{arcsec } |\dfrac{u}{a}| + C$

Lembrando que na integração, podemos separar somas em outras integrais e também colocar constantes que estão multiplicando fora das integrais, ainda multiplicando. Por exemplo:

$\int 5x^3 \,dx = 5 \cdot \int x^3 \,dx$

$\int x^3 + x^2 \,dx = \int x^3 \,dx + \int x^2 \,dx$

Obs.: Você não precisa colocar duas constantes somando nesse caso. Apenas uma já basta, pode constante somada com outra constante resulta em uma nova constante.

Integração por substituição

Já a integração por substituição é usada quando não conseguimos integrar de forma imediata, que serve para funções cujas primitivas precisariam da regra da cadeia para ser derivada. Esse método consiste em denominarmos a função interna de $u$ e integrar em relação a $u$. Por exemplo:

$\int \text{sen }(x^2 + 4x) \cdot (2x+4)\,dx$

Vamos chamar $x^2+4x$ de $u$:

$\int \text{sen }(u) \cdot (2x+4)\,dx$

Mas tem um problema aqui… $dx$ indica que estamos derivando em relação a x, mas precisamos derivar em relação a u, então temos que dar um jeito de nos livrarmos de todas as variáveis x e de substituir o dx. Para isso, vamos encontrar a derivada de u para substituir dx:

$\dfrac{du}{dx} = 2x+4 \Longrightarrow \dfrac{du}{2x+4} = dx$

Agora que sabemos o valor de dx, podemos substituí-lo e cancelar as variáveis x restantes:

$\int \text{sen }(u) \cdot \cancel{(2x+4)}\,\dfrac{du}{\cancel{2x+4}}$

O que nos resta:

$\int \text{sen }u \,du$

Aí basta usar a integração imediata para encontrar que isso é igual a $-\cos u + C$. Mas como $u = x^2+4x$, vamos substituir: $-\cos (x^2+4x) + C$.

Mas perceba que se eu substituísse o $2x+4$ por $u$ não daria certo… o segredo é você dar preferência para o polinômio de grau mais alto! Tipo, tinha um polinômio com $x$ e outro com $x^2$, então damos preferência para o que possui $x^2$.

Mas também podemos usar a integração por substituição da seguinte forma:

$\int x^2 \sqrt{x-1} \,dx$

Vamos chamar $x-1$ de $u$ e já substituir $dx$:

$\dfrac{du}{dx} = 1 \Longrightarrow du = dx$

O que nos dá:

$\int x^2 \sqrt{u} \,du$

Mas por que aqui eu não substituí o que tem grau mais alto? Por esse motivo aqui:

Se $u = x-1$, então $u+1 = x$, aí podemos substituir $x^2$:

$\int (u+1)^2 \sqrt{u} \,du$

$\int (u^2 + 2u + 1) \sqrt{u} \,du$

Aí basta aplicar uma distributiva e integrar normalmente!

Uma dica para saber se é possível integrar por substituição é observar se a derivada de algum termo aparece na função. Se sim, provavelmente consegue por substituição! Ou, senão, pode observar se é possível fazer uma substituição de x em função de u, que nem fizemos nesse último exemplo!

Integração por partes

A integração por parte é o método usado para quando não conseguimos integrar de forma imediata e nem por substituição. Ela possui essa fórmula daqui:

$\int u \,dv = u \cdot v - \int v \,du$

Consiste no seguinte: você vai chamar uma das duas funções que estão multiplicado de u e o resto de dv. Você integra dv para encontrar v e você aplica tudo na fórmula. Por fim, subtrai a integral de v em relação a u.

Para saber qual função chamar de u, você seguirá a seguinte ordem:

Funções logarítmicas
Funções trigonométricas inversas
Funções algébricas
Funções trigonométricas
Funções exponenciais

Sempre dando preferência para a função mais acima. Vamos ver um exemplo de como usar esse método:

$\int 2x \cdot e^x \,dx$

Temos uma função algébrica e uma exponencial. Como a algébrica vem primeiro na lista, vamos chamar ela de u e o resto (que é $e^x\,dx$) vamos chamar de dv. Vamos integrar dv para encontrar o valor de v:

$v = \int e^x \,dx = e^x$ (nesse caso, não precisamos considerar a constante)

Agora só precisarmos descobrir o valor de $\int v \,du$, que é $\int e^x \,du$, mas precisamos substituir esse du para um dx, pois não há u para derivar aqui:

Como o nosso $u = 2x$, sua derivada é $\dfrac{du}{dx} = 2$, logo $du = 2dx$, então podemos substituir:

$\int e^x \,2dx = 2 \cdot \int e^x \,dx = 2e^x$

Agora que temos os valores de tudo, basta colocar tudo no lugar:

$\int 2x \cdot e^x \,dx = 2x\cdot e^x - 2e^x + C$

Integração de funções racionais (frações parciais)

Essa técnica consiste em dividir uma fração de polinômios em várias frações para integrar cada uma delas separadamente. Vamos a um exemplo:

$\int \dfrac{x+1}{x²-4} \,dx$

Para resolver isso usando essa técnica, vamos reescrever essa fração, mas com o denominador fatorado:

$\dfrac{x+1}{x²-4} = \dfrac{x+1}{(x-2)(x+2)}$

Agora, vamos separar isso duas frações com cada parte desse denominador (como não sabemos quem é o numerador, vamos chamar de A e B):

$\dfrac{x+1}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{A}{(x-2)} + \dfrac{B}{(x+2)}$

Está pronto! Agora basta descobrimos os valores de A e B, para isso, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade por (x-2)(x+2):

$\dfrac{x+1}{\cancel{(x-2)(x+2)}}\cancel{(x-2)(x+2)} = \dfrac{A}{\cancel{(x-2)}}\cancel{(x-2)}(x+2) + \dfrac{B}{\cancel{(x+2)}}(x-2)\cancel{(x+2)}$

$x+1 = A(x+2) + B(x-2)$

Agora, basta substituirmos x pelas raízes do polinômio do denominador (que, no caso, seriam 2 e -2):

Descobrindo A (substituindo x por 2):
Descobrindo B (substituindo por -2):

Então, descobrimos que:

$\dfrac{x+1}{x^2 - 4} = \dfrac{\frac34}{(x-2)} + \dfrac{\frac14}{(x+2)} = \dfrac{3}{4(x-2)} + \dfrac{1}{4(x+2)}$

Ou seja:

$\int \dfrac{x+1}{x²-4} \,dx = \int (\dfrac{3}{4(x-2)} + \dfrac{1}{4(x+2)})\,dx$

O que já deixa tudo bem mais fácil de resolver!

Integração trigonométrica

Há basicamente 5 tipos diferentes:

Tipo I

$\int \text{sen}^n \,u \,du$