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Conhecimentos necessários:
Função afim ou função de primeiro grau
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Navegação
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Agora vamos para uma das partes principais do Cálculo Diferencial e Integral, que é justamente a parte que dá o nome “Diferencial” ao Cálculo, a derivada!
A definição de derivada não passa que um limite, que seria:
$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$
Ou seja, se quiséssemos calcular a derivada da função $f$, bastaria resolver esse limite. Aqui um exemplo:
Vamos calcular, pela definição, a derivada da função $f(x) = 2x^2 + 3x$:
$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2(x + h)^2 + 3(x + h) - 2x^2 -3x}{h} \\ \text{} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2x^2 + 4xh + 2h^2 + 3x + 3h - 2x^2 -3x}{h} \\ \text{} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cancel{2x^2} + 4xh + 2h^2 + \cancel{3x} + 3h - \cancel{2x^2} \cancel{-3x}}{h}\\ \text{} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{4xh + 2h^2 + 3h}{h}\\ \text{} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}(4x + 2h + 3)}{\cancel{h}}\\ \text{} \\ \lim\limits_{h \to 0} 4x + 2h + 3$
Como h tende a 0, podemos substituir ele por zero, restando apenas 4x + 3, que é a derivada que tanto procuramos. É um pouquinho de conta, mas é fácil!
O mais legal disso tudo é que a derivada pode ser usava como coeficiente angular de uma reta, lembra disso? Caso não, observe essa função afim: $f(x) = ax + b$
Esse $a$ é o coeficiente angular, que é justamente onde pode ser usada a derivada. Isso seria seu significado geométrico.
Já seu significado físico, seria seus usos como taxa de variação instantânea, que veremos mais para frente.
Existem duas notações para a derivada. A primeira seria a notação de Leibniz, que consiste em escrever $\frac{dy}{dx}$ ou $\frac{d}{dx}$ antes de uma função para indicar sua derivada. Usando o exemplo acima, teríamos: $f(x) = 2x^2 + 3x \Longrightarrow \frac{d}{dx}f(x) = 4x + 3$
A segunda forma seria a notação de Lagrange, que consiste em colocar um tracinho (tipo um apóstrofo) na função, ficando assim:
$f(x) = 2x^2 + 3x \Longrightarrow f'(x) = 4x + 3$
Lembrando que as duas formas não se aplicam somente às funções, mas podem também ser usadas nas expressões em si, tipo assim:
$\frac{d}{dx}(2x^2 + 3x) = (2x^2 + 3x)'$
Vimos que a derivada da função $f(x) = 2x^2 + 3x$ é $4x + 3$, e também vimos que a derivada pode ser usada como o coeficiente angular de uma função afim. É justamente isso que vamos precisar para criar uma reta tangente!
Primeiramente, para criar uma reta tangente, precisamos escolher o ponto que essa reta e a função estarão se encostando. Nesse caso, escolherei o ponto x = -1.
Sabendo que x é -1, precisamos substituir o x da derivada por -1, encontrando, assim, o coeficiente angular:
$f'(-1) = 4 \cdot (-1) + 3 = -4 + 3 = -1$
Ou seja, -1 é o coeficiente angular, agora só precisamos achar o coeficiente linear!
Antes, pensa comigo: essa reta tangente vai passar no mesmo ponto que a função principal, né? Então, no momento desse ponto, as duas serão iguais! Então podemos criar isso aqui:
$ax + b = 2x^2 +3x$
Como já descobrimos que $a$ (o coeficiente angular) é -1, só precisamos achar $b$ (o coeficiente angular), então fica assim:
$-x + b = 2x^2 + 3x$
Mas lembra que o ponto que escolhemos é x = -1? Então basta substituirmos e encontrar o valor de $b$:
$(-1) \cdot (-1) + b = 2 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) \\ 1 + b = 2 \cdot 1 -3 \\ 1 + b = 2 -3 \\ 1 + b = -1 \\ b = -1 - 1 \\ b = -2$
Então achamos que o coeficiente linear é -2, então encontramos toda a nossa reta tangente, que seria $-x -2$. Observe:
A reta normal seria a que faz um ângulo de 90° com a reta tangente. Para achar ela, é mais fácil ainda, é só fazemos essa conta aqui:
$a_n = - \dfrac{1}{a_t}$
De forma que $a_n$ é o coeficiente angular na reta normal e $a_t$ é o coeficiente angular da reta tangente. Com isso, temos:
$a_n = - \dfrac{1}{-1} = -(-1) = 1$
Para achar o coeficiente linear é a mesma coisa: transformamos em uma função afim e igualamos à função principal:
$x + b = 2x^2 + 3x$
Mas estamos considerando o ponto em que x é -1, né? Então basta substituir!
$-1 + b = 2 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) \\ -1 + b = 2 \cdot 1 -3 \\ -1 + b = 2 -3 \\ -1 + b = -1 \\ b = -1 + 1 \\ b = 0$
Ou seja, a reta normal é $x + 0$, ou apenas $x$, já que B é zero. Colocando no gráfico, observe como ficou no final:
Não ficou bonitinho? Eu achei…
Quando falamos de taxa de variação instantânea para ser calculada com a derivada, na maioria das vezes se referimos a velocidade instantânea. É bem fácil! Vou te dar um exemplo:
Vamos supor que temos a seguinte função para determinar a velocidade de um carro: $v = 16t - t^2$. Vamos calcular a velocidade instantânea de quando t é 2:
$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(t + h) - f(t)}{h} \\ \text{} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{16 \cdot (t+h) - (t+h)^2 - 16t + t^2}{h} \\ \text{} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{16t + 16h - t^2 - 2th - h^2 - 16t + t^2}{h} \\ \text{} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cancel{16t} + 16h - \cancel{t^2} - 2th - h^2 - \cancel{16t} + \cancel{t^2}}{h} \\ \text{} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h} \cdot (16 - 2t - h)}{\cancel{h}} \\ \text{} \\ \lim\limits_{h \to 0} 16 - 2t - h$
Substituindo h por zero, resta $16 - 2t$. Como queremos saber a velocidade instantânea de quando t é 2, basta substituir t por 2, ficando $16 - 2 \cdot 2$, que é 12.
Dizemos que uma função é diferenciável em um ponto se o limite da definição de derivada existe nesse ponto e é finito. A mesma coisa acontece para intervalos: a função é diferenciável nesse intervalo se o limite da definição de derivada existe em qualquer ponto desse intervalo e é finito.
Existe uma propriedade chamada de “Diferenciabilidade Implica Continuidade”. O nome é meio autoexplicativo: todo função diferenciável em um ponto, ela obrigatoriamente é contínua nesse ponto.
Mas cuidado! O contrário não ocorre sempre! Nem todo lugar que a função é contínua é também diferenciável. Algumas situações:
As regras de derivação servem para calcular derivadas de uma forma extremamente rápidas, tanto que algumas podemos calcular de cabeça em segundos!
Aqui estão as principais regras de derivação que usaremos:
Diz que a derivada de toda constante é zero. Vou dar um exemplo:
$f(x) = 25$
25 é uma constante, porque isso não vai mudar hora nenhuma, então a derivada dessa função é zero:
$f'(x) = 0$
Diz que a derivada de $x^n$ é $n \cdot x^{n-1}$. Vou te dar um exemplo pra ficar mais fácil:
Imagine a função $f(x) = 2x^3$. Essa regra diz que podemos pegar o expoente e multiplicar com o X. Depois temos apenas que subtrair 1 do expoente que temos a derivada! Então a derivada dessa função ficaria assim:
$f'(x) = 3 \cdot 2 x^{3-1} = 6x^2$
Fácil, né? Olha outros exemplos:
$g(x) = 15x^5 \Longrightarrow g'(x) = 5 \cdot 15x^{5-1} = 75x^4$
$h(x) = 4x \Longrightarrow h'(x) = 1 \cdot 4x^{1-1} = 4$ (derivada de todo número multiplicado por apenas X é o próprio número)