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Conhecimentos necessários:
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Navegação
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Observe as funções abaixo e veja o que elas têm em comum:
$f(x) = (\frac{3}{5})^x$:
$g(x) = \frac{1}{3x}$:
$h(x) = \log_{2x}(2)$:
Conseguiu perceber?
Caso ainda não tenha percebido, as três são carentes… todas querem ficar bem pertinho do eixo X, mas nenhuma chega de fato nele… como se houvesse uma barreira invisível impedindo-as. Basicamente encontrar e definir essa barreira invisível que é o que o limite faz! Mas também faz outras coisinhas…
Vou dar um exemplo aqui. Observe a função Y = 2X:
Se X for 1, Y é 2.
Se X for 2, Y é 4.
Se X for 3, Y é 6.
Conforme o X aumenta, o Y também aumenta e não tem limite para o X, né? Tipo, ele pode ir até o infinito. Sendo assim, Y também pode ir até o infinito. Mas concorda comigo que X e Y nunca chegarão de fato no infinito? Então esse seria o limite dessa função!
Outro exemplo aqui: $Y = \frac{1}{X}$:
Se X for 1, Y é 1.
Se X for 2, Y é 0,5.
Se X for 4, Y é 0,25.
Se X for 1000, Y é 0,001.
Perceba que X pode crescer à vontade, mas Y não pode diminuir à vontade. Enquanto X está crescendo, buscando o infinito, Y está ficando cada vez menor, buscando ser zero. Assim como X nunca será infinito, Y nunca será zero, pois não há um número que ao dividir 1 por ele dê zero. Esse zero é o limite dessa função! Pois Y busca ser zero, mas não consegue.
Que tal escrevermos isso para ficar mais bonitinho, hein?
$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$
Ou seja, quando X tende ao infinito (positivo), Y tende a ser zero. Por curiosidade, o primeiro exemplo ficaria assim:
$\lim\limits_{x \to +\infty} 2x = + \infty$
Ou seja, quando X tende ao infinito (positivo), Y tende ao infinito (positivo, também).
Mas um ponto muito importante é que o limite não vale só para essas coordenadas que estão fora da função, mas também pode ser um dentro. Vou te dar um exemplo!
$f(x)=2^x$
Vamos analisar o limite de quando o X está tendendo a ser igual a 3:
Se X for 1, Y é 2.
Se X for 2, Y é 4.
Se X for 2,5, Y é aproximadamente 5,65
Se X for 2,9, Y é aproximadamente 7,46
Se X for 2,99, Y é aproximadamente 7,94
Conforme X se aproxima de 3, Y tende a ser 8. Mas vamos analisar de frente para trás também:
Se X for 4, Y é 16
Se X for 3,5, Y é aproximadamente 11,31
Se X for 3,1, Y é aproximadamente 8,57
Se X for 3,01, Y é aproximadamente 8,05
Tá vendo que ele também se aproxima de 8? Então o limite de quando X tende a ser 3 é 8:
$\lim\limits_{x \to 3} 2^x = 8$
Mas perceba que esse ponto não está fora da função! 2³ é realmente 8 e está dentro da função! Ou seja, limite também serve para pontos que estão na função, mas não são necessariamente o verdadeiro ponto. Irei de dar outro exemplo!
Imagina essa função de duas sentenças aqui:
Se X for diferente de 3, Y = 3X
Se X for igual a 3, Y = 4X
Vamos analisar o limite dessa função quando X tende a ser 3:
Se X for 2, Y é 6.
Se X for 2,5, Y é 7,5.
Se X for 2,9, Y é 8,7
Se X for 2,99, Y é 8,97
Se X for 2,9997, Y é 8,9991
Percebe que Y está tendendo a ser 9? Ou seja, o limite dessa função, quando X tende a ser 3, é 9, mas quando X realmente é 3, Y é igual a 12 (4 vezes 3).
Meio que podemos dizer que o limite só considera o redor do ponto, não quando X realmente é o que ele tende a ser.
Confesso que essa parte pode ser um pouco confusa de entender a princípio, mas tenho uma notícia para você: a definição de limite quase não é usada, sabia? Então se você quiser pular essa parte ou se você não entender muito bem, está tudo bem! Mas se quiser entender tudinho, perfeito!
Mesmo sabendo disso, que tal agora deixarmos tudo isso mais bem definido? Daquele jeitinho que a matemática gosta!
Seja $f$ uma função que tem $a$ contido no seu domínio e limite $L$ quando X tende a $a$. Ou seja, isso daqui:
$\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$
Essa função só pode ter esse limite se para cada $\epsilon > 0$ exista um $\delta > 0$ que faça com que a condição abaixo seja verdadeira:
$|f(x) - L| < \epsilon$ sempre que $0 < |x-a| < \delta$
Confuso, né? Mas se acalma. Vou explicar o que é esse épsilon ($\epsilon$) e esse delta ($\delta$), além de tudinho! Então vamos ao exemplo!
Vamos usar essa função daqui: $f(x) = 3x+2$. O limite dessa função quando X tende a ser 3 é 11, então fica assim:
$\lim\limits_{x \to 3} (3x+2) = 11$.
Esse três é o $a$, que não passa de um ponto qualquer que queremos calcular o limite para quando X tende a ser ele, sabe? Se quisermos calcular o limite para quando X tende a ser cinco, cinco seria o $a$.
Já o 11, seria o $L$, que é o resultado do limite, sabe? Quando X tende a ser 3, Y tende a ser 11, e no início lá, X tende a ser $a$, então Y tende a ser $L$.
Agora vamos pegar esse $a$ (que, nesse exemplo, seria o 3) e vamos verificar se é verdade fazendo uns testes com números pertinhos de 3!
Se X for 2,5, Y é 9,5
Se X for 2,8, Y é 10,4
Se X for 2,95, Y é 10,85
Realmente está se aproximando de 11! Agora vamos tentar de novo, só que com números acima de 3:
Se X for 3,5, Y é 12,5
Se X for 3,2, Y é 11,6
Se X for 3,05, Y é 11,15
Também está se aproximando de 11! Agora pensa comigo: todos esses números tem uma quantia pequenininha faltando ou sobrando para X chegar ao 3 certinho, seja 0,5 ou 0,05. Essa quantia sobrando ou faltando é justamente o $\delta$. Agora vou repetir informando-o para você:
Se X for 2,5, Y é 9,5 e o $\delta$ é 0,5