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Conhecimentos necessários:
Expressões (numéricas e algébricas)
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Navegação
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Função é a relação de elementos de dois conjuntos distintos.
Como na imagem acima! Há 2 conjuntos: o A e o B. Todos os elementos de A estão conectados em um do B, mesmo que na segunda imagem dois elementos do A estejam conectados em um só do B. Mas se fosse o contrário, um elemento do A conectado em dois do B, isso não é uma função! Nem se estiver algum elemento do A que não está conectado em nada.
Imagine que na sua frente tem uma máquina! Nessa máquina, você pode digitar o número 1, 2, 3 ou 4 e ela consegue criar os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 e te entregar. Quando você digita 1, ela cria o número 2 para você. Quando você digita 2, ela cria o número 4 para você. Quando você digita 3, ela cria o número 6 para você. Por fim, quando você digita 4, ela cria o número 8 para você.
Nesse exemplo, a máquina seria a própria função. Os números que você consegue digitar (o 1, 2, 3 e 4) representam o conjunto domínio, enquanto os números que a máquina consegue criar (o 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8) são o contradomínio. Mas vemos que ela não chegou a criar todos esses números, apenas os 2, 4, 6 e 8, que são o conjunto-imagem. Deu para entender?
Com outras palavras, o conjunto domínio é o que podemos colocar na função, enquanto o contradomínio é o que ela pode nos devolver, mas o conjunto imagem é de fato o que ela nos devolve.
Às vezes parece confuso sobre para que isso serve, né? Mas já, já te dou um exemplo. Antes, deixa só eu explicar sobre a…
Cada função obedece a uma regra. No exemplo na máquina acima, percebeu que ela dobrou os números que digitamos nela? Ou seja, a regra dela é nos devolver o dobro do que colocamos. Se colocamos X, ela nos devolve Y, porque a regra dela é Y = 2X.
Há infinitas possibilidades de se criar uma regra, mas tentarei criar uma aqui que sirva de exemplo do motivo de existir o conjunto domínio:
Observe a regra:
$Y = \frac{2}{X}$
Vimos na explicação sobre fração que não podemos dividir por zero, pois é indeterminado. Então temos que limitar o conjunto domínio, mostrando que ele não pode ser zero, né?
$D = \{ X \in \mathbb{R} \text{ } | \text{ } X \neq 0 \}$
Ou, senão, outro exemplo seria:
$Y = \sqrt{x}$
Na explicação sobre radiciação, também vimos que raiz quadrada de número negativo quebra a matemática, né? Por isso temos que dar um jeito nisso!
$D = \{ X \in \mathbb{R} \text{ } | \text{ } X \geq 0 \}$
Já ouviu falar em plano cartesiano? É basicamente aquele negócio cheio de quadradinhos, uma linha na vertical e outra na horizontal. A linha na vertical representa o Y, que nada mais é do que a altura, também chamado de eixo das ordenadas. Já a linha horizontal é o X, também chamada de eixo das abscissas.
As coordenadas de pontos seguem sempre a ordem de $(x, \text{ } y)$.
Supondo que um ponto esteja na altura 5 e sua horizontal esteja na coordenada 2, seu ponto está na coordenada (2, 5). Bem simples, né?
Ah! Para evitar confusões, se alguma das coordenadas for um número decimal, é separado por ponto e vírgula, que nem aqui: $(2,5; \text{ } 5,7)$
Para ajudar a entender melhor isso, recomendo fortemente fazer experimentos no GeoGebra Clássico. É um ótimo site!
Toda função pode ser transformada em um gráfico! Basta analisarmos a regra dela:
Usando de exemplo a mesma regra criada acima (Y = 2X, ou f(x) = 2X, para os mais formais), basta darmos algum valor para X e vermos qual será o Y equivalente:
Se X for 10, Y será 20.
Se X for 21,5, Y será 43
Se X for 2², Y será 2³
Para qualquer valor de X, sempre terá um Y, assim conseguimos fazer disso um gráfico:
Justamente pelo valor de Y depender do valor de X que esses carinhas também recebem outros nomes:
X: Variável independente.
Y: Variável dependente.
Existem vários tipos de funções. Algumas delas são:
Apenas se todos os elementos do contradomínio estiverem também no conjunto-imagem. o Y = 2X é um exemplo, pois o contradomínio são todos os números reais e com essa função também se obtém todos os números reais (ou seja, o conjunto-imagem também são todos os números reais).
Apenas se todos os valores do domínio tiverem uma imagem distinta. Ou seja, não podem existir dois valores para X que resultem no mesmo Y. O que também é o caso do Y = 2X.
Bem simples! Essa é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.
Apenas se valores negativos e positivos de X resultem na mesma imagem.
Por exemplo: f(x) = X²
Se a gente der o valor 5 para X, a função retornará 25. Mas se dermos -5, ela também retornará 25.
Apenas se o valor invertido da imagem de X for igual à imagem de -X. Meio confuso, né? Então vou dar um exemplo:
Y = 2X e vamos dar o valor de X como 3:
$Y = 2 . 3$
$Y = 6$
$-Y = -6$
Ou seja, a imagem de X = 3 é 6, então o valor invertido é -6.
Mas se X for igual -3, também dará em -6.
$Y = 2 . (-3)$
$Y = -6$
Ou seja, Y = 2X é uma função ímpar.
Mas Y = 3X + 3 não é. Observe só quando dou os mesmos valores:
Com X = 3:
$Y = 3 . 3 + 3$
$Y = 9 + 3$
$Y = 12$
$-Y = -12$
Agora com X = -3:
$Y = 3 . (-3) + 3$
$Y = -9 + 3$
$Y = -6$
Apenas se ao aumentar o X (domínio) também aumenta o Y (imagem). Um exemplo também é o Y = 2X.
Apenas se ao aumentar o X (domínio) o Y (imagem) diminui. Um exemplo seria Y = -2X.
É basicamente uma função dentro da outra. Uma fusão de fusões. Um exemplo:
Suponha que haja a função f(x) = 2x e a função g(x) = 3x + 1.
A função composta é colocar uma função no lugar do x da outra, tipo:
Vou colocar a função do g(x) dentro da f(x):
$f(g(x)) = 2g(x)$
Como a função do g(x) e 3x + 1, basta substituir:
$fog(x) = 2.(3x+1)$
Isso é uma função composta!
É basicamente a gente pegar uma função e inverter ela. Vamos pegar a função Y = 2X como exemplo:
Essa função ela está dobrando tudo, né? Multiplicando com 2. O que seria o contrário de dobrar? Seria dividir por 2, né? Isso é a função inversa!
$Y = \frac{X}{2}$ é a função inversa de $Y = 2X$. Ou seja, se colocarmos algum número em alguma função vamos ter a sua imagem, e se pegarmos essa imagem e colocarmos na função inversa, vamos ter o número que colocamos no início de tudo!
Um exemplo aí em que coloquei 21,5 como sendo X:
$Y = 2.21,5 = 43$
Agora colocando na função inversa:
$Y = \frac{43}{2} = 21,5$
Ao escrever a função inversa, geralmente escrevemos assim $f^{-1}(x)$, assim que escrevemos a função inversa de $f(x)$.
Agora pensa comigo:
Se $f(2) = 4$, então $f^{-1}(4) = 2$, porque as duas são inversas, funcionam de formas opostas! Mas se eu fizer assim:
$f(f^{-1}(4))$. Qual resultado daria? Daria o próprio 4! Viu o padrão?
O padrão é esse aqui: $f(f^{-1}(x)) = x$. Sempre!
Apenas se houver modulo de X. Um exemplo seria Y = |X|. Bem simples, né?
Seria uma função que Y tem o mesmo valor de X, como Y = X. Também vale para negativo: Y = -X. Então meio que só existem dois tipos de funções identidade.