Funções crescentes e decrescentes

Dizemos que uma função é crescente num intervalo quando $f'(x) > 0$ para qualquer valor de X existente nesse intervalo.

Já se $f'(x) < 0$ para qualquer valor de X existente nesse intervalo, então é uma função decrescente.

Máximos e mínimos, relativos e absolutos

Chamadas de pontos extremos todos os pontos que apresentam um ponto máximo ou mínimo quando comparado ao seu redor.

Existem dois tipo de pontos máximo e mínimos: os relativos (ou locais) e os absolutos (ou globais). Os relativos são apenas de um determinado pedaço, enquanto os absolutos são de toda a função ou intervalo que estamos analisando.

Como exemplo, observe a função $f(x) = x^4 + x^3 -3x^2 - x + 1$:

Temos 3 extremos aqui:

Um mínimo absoluto, que é quando X tem um valor entre -2 e -1;
Um máximo relativo, que é quando X tem um valor próximo de 0;
Um mínimo relativo, que é quando X vale 1.

Teorema do valor extremo

Esse teorema diz que se uma função $f$ é contínua no intervalo $[a, b]$, então essa função terá um valor máximo absoluto e valor mínimo absoluto… meio que só isso mesmo!

Teorema de Fermat

Se uma função $f$ tiver um ponto máximo e um ponto mínimo local em $c$ que é derivável, então $f'(x) = 0$.

Obs.: se $f'(c) = 0$ ou $f'(c)$ não existe, dizemos que $x=c$ é um ponto crítico.

Concavidade e pontos da inflexão

A concavidade nada mais seria que uma curva na função. Se essa concavidade é para baixo em algum intervalo, dizemos que a função, nesse intervalo, é côncava (ou convexa) para baixo. Mas se essa concavidade for para cima, dizemos que a função, nesse intervalo, é côncava (ou convexa) para cima.

Já um ponto de inflexão é quando o ponto marca a divisa certinha entre duas concavidades opostas. Por exemplo:

A função acima ($f(x) = x^3$) possui um ponto de inflexão bem no ponto (0, 0).

Testes da derivada primeira e da derivada segunda

Esses testes nos ajudam bastante a saber quando um ponto crítico encontrado é um ponto máximo, um ponto mínimo ou um ponto de inflexão.

Testes da derivada primeira

Se em alguma função $f(x)$ temos o ponto $x = c$ que é um ponto crítico, então podemos fazer alguns testes envolvendo $f'(x)$:

Se antes do ponto $x= c$ a derivada é negativa e depois desse ponto a derivada é positiva, então temos um ponto mínimo;
Se antes do ponto $x= c$ a derivada é positiva e depois desse ponto a derivada é negativa, então temos um ponto máximo;
Se antes e depois do ponto $x= c$ a derivada não muda de sinal, temos um ponto de inflexão.

Testes da derivada segunda

A derivada segunda nada mais é do que uma derivada da derivada da função.

Supondo que no ponto $x = c$ temos um ponto crítico, então pode fazer alguns testes envolvendo $f''(x)$:

Se $f''(c) > 0$, então o ponto $x = c$ é um ponto mínimo e há uma concavidade para cima;
Se $f''(c) < 0$, então o ponto $x = c$ é um ponto máximo e há uma concavidade para baixo;
Se $f''(c) = 0$, então não podemos concluir algo com isso (precisamos realizar testes com a derivada primeira ou algo do tipo).

O legal da derivada segunda é que podemos usar para ver a concavidade em algum ponto numa função qualquer $f$:

Se a derivada segunda for positiva, então nesse ponto há uma concavidade para cima;
Se a derivada segunda for negativa, então nesse ponto há uma concavidade para baixo;

Assíntotas horizontais e verticais

Explicadas aqui: link.

Um detalhe é que geralmente as funções que apresentam alguma limitação no domínio que possuem assíntotas.

Esboços de gráficos de funções

Consiste em tentar encontrar basicamente essas informações de uma função para fazer o gráfico:

Domínio;
Intersecção com os eixos;
Pontos críticos;
Pontos crescentes e decrescentes;
Pontos máximos e mínimos;
Concavidade e pontos de inflexão;
Assíntotas.

Funções hiperbólicas

O que são?

As funções principais seriam o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico. Eles possuem esse nome porque, em vez de ter uma função com círculos ou elipses (como o seno ou o cosseno tradicionais), essas funções hiperbólicas resultam em hipérboles. Elas possuem os seguintes valores:

$\text{senh}(x) = \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
$\cosh(x) = \dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$
$\text{tgh}(x) = \dfrac{\text{senh}(x)}{\cosh(x)} = \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
$\text{tgh}(x) = \dfrac{\cosh(x)}{\text{senh}(x)} = \dfrac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$
$\text{sech}(x) = \dfrac{2}{e^x+e^{-x}}$
$\text{cossech}(x) = \dfrac{2}{e^x-e^{-x}}$

Derivadas de funções hiperbólicas

Possuem umas semelhança muito grande com as derivadas trigonométricas tradicionais. Observe só:

$[\text{senh}(x)]' = \cosh(x)$
$[\cosh(x)]' = \text{senh}(x)$
$[\text{tgh}(x)]' = \text{sech}^2(x)$
$[\text{cotgh}(x)]' = -\text{cossech}^2(x)$
$[\text{sech}(x)]' = -\text{sech}(x)\cdot \text{tgh}(x)$
$[\text{cossech}(x)]' = -\text{cossech}(x)\cdot \text{cotgh}(x)$

Derivadas de funções hiperbólicas inversas

Assim como a função inversa do seno é o arco seno, a função inversa do seno hiperbólico é o arco seno hiperbólico. Existe 6 funções hiperbólicas inversas:

$[\text{arsenh(x)}]' = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
$[\text{arcosh(x)}]' = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$, se $1 < x$
$[\text{artgh(x)}]' = \dfrac{1}{1 - x^2}$, se $-1 < x < 1$
$[\text{arcotgh(x)}]' = \dfrac{1}{1 - x^2}$, se $1 < |x|$
$[\text{arsech(x)}]' = -\dfrac{1}{x \cdot \sqrt{1 - x^2}}$, se $0 < x < 1$
$[\text{arcossech(x)}]' = -\dfrac{1}{|x| \cdot \sqrt{1 + x^2}}$, se $x \ne 0$

Problemas de otimização

Problemas de otimização envolvem a busca por pontos mínimos e máximos, seja interpretar um enunciado e encontrar a maior área dentro dos limites das funções (ponto máximo), por exemplo, ou encontrar o menor valor gasto cumprindo alguns requisitos (ponto mínimo), por exemplo.

Taxas relacionadas

Problemas com taxas relacionadas envolvem o uso de derivadas como taxas de variações de alguma quantidade, envolvendo derivações implícitas.

Grande parte das quantidade envolvidas são em função do tempo.

Bônus