Limites de integração infinitos

Vimos que podemos calcular áreas com integrais definidas:

$\int_a^b f(x) \,dx$

Mas e se o a ou o b fossem infinitos? Algo como:

$\int_{-\infty}^b f(x) \,dx$, $\int_a^{\infty} f(x) \,dx$ ou $\int_{-\infty}^\infty f(x) \,dx$

Nesses casos, basta usarmos limites! Podemos escrever isso como:

$\int_{-\infty}^b f(x) \,dx = \lim\limits_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)$

$\int_a^{\infty} \,dx = \lim\limits_{b \to \infty} \int_a^b f(x)$

$\int_{-\infty}^\infty f(x) \,dx = \lim\limits_{a \to -\infty} \int_a^0 f(x) + \lim\limits_{b \to \infty} \int_0^b f(x)$

Como exemplo, vamos pegar a função $f(x) = \frac{1}{x^2}$ e calcular a área do intervalo $[1, \infty)$:

$\lim\limits_{b \to \infty} \int_1^b \frac{1}{x^2} = \lim\limits_{b \to \infty} (\frac{-1}{x})|1^b = \lim\limits{b \to \infty} (\frac{-1}{b} - \frac{-1}{1}) = 0 + 1 = 1$

Integrandos infinitos

É quando temos descontinuidades que tendem ao infinito, como o caso de $\lim\limits_{x\to0} \frac{1}{x^2}$. Aí temos três casos:

Quando a descontinuidade é em a: $\int a^b f(x) \,dx = \lim\limits{t\to a^+} \int_t^b f(x) \,dx$
Quando a descontinuidade é em b: $\int a^b f(x) \,dx = \lim\limits{t\to b^-} \int_a^t f(x) \,dx$
Quando a descontinuidade está entre a e b: $\int _a^b f(x) \,dx = \int _a^c f(x) \,dx + \int _c^b f(x) \,dx,\,\,\,a < c < b$

Um exemplo:

$\int_{-2}^2 \frac{1}{x^2} \,dx$

Temos uma descontinuidade em x = 0, então vamos separar em duas integrais (caso 3):

$\int_{-2}^2 \frac{1}{x^2} \,dx = \int_{-2}^0 \frac{1}{x^2} \,dx + \int_0^2 \frac{1}{x^2} \,dx$

Agora usando os limites (caso 1 e 2):

$\int_{-2}^2 \frac{1}{x^2} \,dx = \lim\limits_{t \to 0^-} \int_{-2}^t \frac{1}{x^2} \,dx + \lim\limits_{t \to 0^+} \int_t^2 \frac{1}{x^2} \,dx$

Integrando isso, temos:

$\int_{-2}^2 \frac{1}{x^2} \,dx = \lim\limits_{t \to 0^-} ( \frac{-1}{x})|{-2}^t + \lim\limits{t \to 0^+} ( \frac{-1}{x})|_t^2$

O que resulta em:

$(\infty - \frac12) + (- \frac12 - (-\infty)) = \infty + \infty = \infty$

Conseguimos calcular, mas nesse caso, dizemos que essa integral diverge.