Limites

Limites em funções de várias variáveis funcionam basicamente da mesma forma dos limites em funções com uma variável. Observe só:

$\lim\limits_{(x, y) \to (2, 2)} x^2y^2 = 2^2 \cdot 2^2 = 16$

$\lim\limits_{(x, y) \to (2, 2)} \dfrac{x-y}{x^2-y^2} = \lim\limits_{(x, y) \to (2, 2)} \dfrac{x-y}{(x-y)\cdot(x+y)} = \lim\limits_{(x, y) \to (2, 2)} \dfrac{1}{x+y} = \dfrac{1}{4}$

Viu só?

Uma coisa muda: para um limite existir, os dois limites laterais precisavam ser iguais, né? Como aqui o gráfico é em 3D, existem infinitos limites laterais. Se um deles for diferente dos outros, o limite não existe. Um exemplo:

$\lim\limits_{(x, y) \to (0, 0)} \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

Analisando pelo eixo X, o Y será sempre zero, então teríamos:

$\lim\limits_{(x, y) \to (0, 0)} \dfrac{x^2-0^2}{x^2+0^2} = \lim\limits_{(x, y) \to (0, 0)} \dfrac{x^2}{x^2} = 1$

Mas analisando pelo eixo Y, o X sempre será zero, então temos:

$\lim\limits_{(x, y) \to (0, 0)} \dfrac{0^2-y^2}{0^2+y^2} = \lim\limits_{(x, y) \to (0, 0)} \dfrac{-y^2}{y^2} = -1$

Percebe que os limites são diferentes? Então o limite para esse ponto dessa função não existe.

Ah! E infelizmente a Regra de L’Hôspital não funciona aqui, mas o teorema do confronto e as propriedades no infinito funcionam, olha só:

Teorema do Confronto

Afirma que:

Se $f(x, y)$ é uma função que tem a imagem limitada e $\lim\limits_{(x, y) \to (a, b)} g(x, y) = 0$, então:

$\lim\limits_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) \cdot g(x, y) = 0$

Propriedade no infinito

Lembra daquilo que só o que importa é o que tem maior grau nos polinômios com limites no infinito? Isso também se aplica aqui! Lembrando que o grau, nesses casos, quando se tem uma multiplicação das duas variáveis, deve-se considerar a soma dos expoentes. Um exemplo:

$\lim\limits_{(x, y) \to (+\infty, -\infty)} \dfrac{x^3y^3 + x^4}{x^3 -xy} = \lim\limits_{(x, y) \to (+\infty, -\infty)} \dfrac{x^3y^3}{x^3} = \lim\limits_{(x, y) \to (+\infty, -\infty)} y^3 = -\infty$

Continuidade

A continuidade daqui é idêntica à continuidade das funções de uma só variável:

Um ponto (z, y, z) é contínuo se:

$\lim\limits_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = f(a, b)$

Sobre os intervalos contínuos, no caso de funções com duas variáveis, seria áreas contínuas e, no caso de funções de três variáveis, seria volumes contínuos.