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Conhecimentos necessários:
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Continuação direta de limites…
Continuidade, também chamada de funções contínuas, são funções que são possuem pausas ou nenhuma quebra. Se a gente fosse desenhar elas, poderíamos desenhar sem tirar o lápis do papel.
Geralmente falamos que tal função é contínua ou descontínua em algum ponto.
Para sabermos se um ponto é contínuo ou não, é bem simples, basta observarmos isso:
$\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$
Ou seja, o limite da função tem que ser igual ao Y da função quando substituímos X por $a$. Vamos verificar se esse exemplo é contínuo quando X é 2:
$f(x) = 2x+3$
Vamos primeiro verificar o limite dessa função:
$\lim\limits_{x \to 2} (2x+3) = 7$
Agora vamos ver essa função dá o mesmo resultado quando X é 2:
$f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$
Tanto o limite quanto a função resultaram em 7, ou seja, essa função é contínua quando X é 2.
Agora vamos tentar com outro exemplo: vamos ver se a função abaixo também é contínua quando X é 2:
$f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$
Vamos primeiro verificar o limite:
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x+2) \cdot \cancel{(x-2)}}{\cancel{x - 2}} = x + 2 = 2 + 2 = 4$
Ou seja, o limite dessa função quando X tende a 2 é 4. Agora vamos ver se o mesmo ocorre na função:
$f(2) = \dfrac{2^2 - 4}{2 - 2} = \dfrac{4- 4}{0} = \dfrac{0}{0}$
Ou seja, esse ponto nem sequer existe na função. Então podemos dizer que essa função não é contínua quando X é 2.
Também podemos falar que tal função em contínua ou não em algum intervalo! É tipo que nem um ponto mesmo, mas no lugar de ser um ponto só, são vários pontos, tipo um pedacinho da função.
Vamos supor que existe uma função $f$, aí queremos saber se ela é contínua de um pedaço, que começa no 1 e vai até o 3. Se ela for contínua, isso quer dizer que ela vai ter os mesmos valores do limite em qualquer ponto que esteja entre esses dois, tipo assim:
Vou de dar um exemplo aqui:
$f(x) = x+2$
Essa função vai ser contínua no intervalo [1, 5] se quando o X for igual a qualquer número e maior ou igual a 1 e menor ou igual a 5 ela tiver o mesmo valor do limite! Observe os tipos de intervalo que tem:
Esse é o intervalo entre dois pontos, isso quer dizer que $a \leq x \leq b$. Ou seja, X pode ser A, B ou qualquer valor entre esses dois, mas qualquer um desses valores que o X for, a função tem que ser igual ao limite. Para verificar a continuidade, temos que verificar 3 coisas:
Como exemplo, vamos analisar a função $f(x) = x+2$ no intervalo $[1, 5]$ e ver se ela é contínua nesse intervalo seguindo esses 3 passos:
Então chegamos a conclusão que a $f(x) = x + 2$ é contínua no intervalo $[1, 5]$!
De forma geral, o terceiro passo é o mais fácil! Apenas precisamos observar se a função pode ser quebrada de alguma forma, sabe? Seja por uma fração que divide por 0 ou por uma raiz quadrada de algum número negativo. Se a função não tem como ter nada disso, perfeito! Mas se ela tem, basta verificar se o valor de X que resulta nesse probleminha está entre A e B! Se não estiver, então esse terceiro passo também já está completo!
Parecido com o de cima, mas nesse intervalo só tem o início, ficando assim: $a \leq x < + \infty$.
Para verificar a continuidade, só temos que verificar 2 passos:
Como não tem fim, nem precisamos fazer o limite de quando X tende a $b$ vindo da esquerda!
Que nem o de cima, mas o contrário: esse intervalo não tem início, apenas fim: $- \infty < x \leq b$. Para verificar ele, temos que verificar esses dois passos:
Como não tem início, também não precisamos fazer essa verificação.
É bem parecido com o primeiro, mas a diferença é que X não pode ser A nem B: $a < x < b$. Por isso que ao verificar esse tipo de intervalo, só precisamos de verificar uma coisa:
Isso ocorre justamente por que X não pode ter o valor de A ou B, então o limite deles não nos importa!
Parecido com o segundo intervalo, mas nesse o X não pode ter o valor de A: $a < x < + \infty$. Por isso que ele também só tem uma verificação:
Parecido com o terceiro, mas nesse o X não pode assumir o valor de B: $- \infty < x < b$. Aí esse tipo de intervalo também tem só um tipo de verificação:
As funções contínuas também possuem algumas propriedades que facilitam nossa vida!
Diz basicamente que se existe duas funções contínuas X = A, então sua soma, subtração, multiplicação ou divisão também serão contínuas. Tipo assim:
Se $f$ e $g$ são funções continuas quando $x = a$, então $f+g$, $f-g$, $f \cdot g$ e $\dfrac{f}{g}$ continuarão contínuas quando $x = a$.
Diz que toda função $\text{sen }(x)$ e $\cos (x)$, para qualquer valor de X existente, sempre será uma função contínua!
Diz que todo polinômio é contínuo para qualquer valor de X.
Diz toda função racional (que é uma função que possui uma fração) é contínua quando X é algum número de seu domínio. Ou seja, função racional é contínua em todos os lugares, menos nos lugares que fazem seu denominador ser zero.
Diz basicamente que quando a função $f$ é contínua em $a$ e a função $g$ é contínua em $f(a)$, então a função composta $gof$ é contínua em $a$.
Um exemplo:
$f(x) = 2x - 2$. Essa função é contínua em 3, e fica assim: $f(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 4$ (resulta em 4).
$g(x) = x^2$. Essa função é contínua em 4. Como vimos que f(2) é 4, podemos dizer que essa função é contínua em f(2) também, ficando assim:
$g(f(2)) = gof(2)$. Por isso essa função composta é contínua também!
Se uma função é contínua em algum lugar, a sua função inversa também será!
Lembra sobre verificar se tal função é contínua em algum intervalo? Vimos que ela é contínua em algum intervalo se todos os lugares dentro dele serem contínuos, né? Esse teorema fala justamente isso! Que se uma função for contínuo em um intervalo, todos os lugares dentro dele também serão contínuos.
Mas ele faz uma adição: se no intervalo $[a, b]$, a função com o valor de A e com o valor de B, ou seja, $f(a)$ e $f(b)$, tiverem sinais opostos, então em algum lugar dentro desse intervalo terá uma raiz, ou seja, em algum lugar a função será igual a zero.
Bem simples, né?
Por mais que tenha um nome estranho, esse teorema é tranquilo!
Ele basicamente diz que toda função que é contínua em um intervalo limitado e fechado possui um ponto que a função tem um valor maior possível(ponto máximo) e um ponto que a função tem um valor menor possível (ponto mínimo).
Esse teorema só se aplica nesse tipo de intervalo: $[a, b]$, ou seja, quando isso é verdade:
$a \leq x \leq b$.
Vou te dar um exemplo desse teorema:
Considere essa função: $f(x) = x^2$. Ela é contínua no intervalo $[2, 5]$. Nesse intervalo, a função tem um ponto que é o menor valor que ela consegue ser e o maior também, que são justamente quando X é 2 e 5, respectivamente:
$f(2) = 2^2 = 4$ (ponto mínimo dentro do intervalo)
$f(5) = 5^2 = 25$ (ponto máximo dentro do intervalo)
Vou dar outro exemplo usando a mesma função:
Sabemos que essa função também é contínua no intervalo $[-2, 4]$. Como esse intervalo é limitado e fechado, ele tem um ponto mínimo dentro dela e um ponto máximo!
$f(-2) = (-2)^2 = 4$. Ainda dá para termos números menores que 4, então dessa vez o ponto mínimo não é o próprio início do intervalo.
$f(0) = 0^2 = 0$. Esse sim é o ponto mínimo!
$f(4) = 4^2 = 16$. Esse é o ponto máximo.
Bem fácil, né? Então se uma função é contínua um intervalo limitado e fechado, saiba que dentro desse intervalo sempre terá um ponto menor e outro ponto maior do que os outros.