Introdução

As funções que vimos até agora tinham apenas uma única variável independente, mas elas podemos ter 2, 3 ou quantas variáveis quisermos. De resto, elas funcionam que nem qualquer função: informamos alguns valores para as variáveis e a função nos retorna um único número real. Alguns exemplos:

$f(x, y) = x^2 + y^2$

$g(x, y, z) = x + y^z$

$h(x, y, z, w, t) = (xy)^z + \ln (w) \cdot t$

São funções um pouco mais complexas e confusas, talvez, mas o funcionamento é o mesmo!

Gráfico

Nas funções com uma variável, escolhemos um número, enquanto nas funções com duas variáveis, tecnicamente escolhemos um ponto no plano cartesiano ao escolher dois números. A partir disso, o número que obteremos será a altura da função! O gráfico de uma função com uma variável é 2D, enquanto o gráfico de uma função de duas variáveis é 3D. Por exemplo:

Esse o é gráfico da função $f(x, y) = x^2 + y^2$

Peguemos o ponto (1, 1) para colocar nos respectivos valores de X e Y: $f(1, 1) = 1^2 + 1^2 = 2$. Esse 2 é o valor de Z, a altura desse ponto no gráfico! Tudo funciona de uma forma bem parecida com os gráficos 2D que estamos acostumados.

Agora, preste atenção num ponto interessante (deixando o trocadilho de lado): nas funções com uma variável o gráfico é 2D, enquanto nas com duas variáveis o gráfico é em 3D. Seguindo esse padrão, as funções com três variáveis possui um gráfico em 4D e assim por diante. Esses gráficos até existem, porém não conseguimos ver e, menos ainda, esboçá-los.

Por fim, aprecie a linda função $f(x, y) = (x^2+5y^2)\cdot e^{-x^2-y^2}$:

(Parece duas montanhas, hehe).

Domínio

Para analisar o domínio, a maneira é idêntica à forma de encontrarmos o domínio em uma função de uma variável. Alguns exemplos:

$f(x, y) = \dfrac1{x-y}$

Como não podemos dividir nada por zero, x - y ≠ 0, ou seja, y ≠ x. então o domínio é:

$D = \{ (x, y) \in \R^2 \,\,|\,\, y \ne x\}$

(O conjunto dos reais é elevado à quantidade de variáveis)

Então bem na reta y = x a função não é contínua. Observe:

$g(x, y) = \sqrt{x+y}$

Não existem raízes quadradas reais de números negativos, então x + y ≥ 0. Para isso, y ≥ -x, então o domínio fica assim:

$D = \{ (x, y) \in \R^2 \,\,|\,\, y \ge -x\}$

Então o gráfico só existirá na parte de cima da reta y = -x. Observe:

$h(x, y, z) = \dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}$

Assim como o primeiro exemplo, não podemos dividir por zero, então os únicos valores que não as variáveis que não assumir simultaneamente são 0, 0 e 0. Então apenas o ponto (0, 0, 0) não existe, logo, o domínio é:

$D = \{ (x, y, z) \in \R^3 \,\,|\,\, (x, y, z) \ne (0, 0, 0) \}$

(O conjunto dos reais é elevado a três, pois é a quantidade de variáveis dessa função)

Já o gráfico dessa função, ficarei devendo a ti… pois é um gráfico em 4D.

$i(x, y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$

Bom, aqui, 9 - x² - y² precisa ser maior ou igual a 0, então:

$9 - x^2 - y^2 \ge 0 \\

x^2 - y^2 \ge -9 \\ x^2 + y^2 \le 9$

Percebe que isso é quase a equação de uma circunferência de raio 3? Sabendo disso, acho que já imagino que o gráfico ficará assim:

Curvas de níveis

É basicamente cortar o gráfico da função com planos paralelos ao plano xy e projetá-los no plano xy. Observe isso na função que dei como exemplo acima:

Ocultando esses planos temos:

Ocultando o gráfico da função e olhando de cima, vemos justamente as curvas de níveis:

Isso é muito útil para mapear as alturas de montanhas. Um exemplo parecido, mas com a função $f(x, y) = (x^2+5y^2)\cdot e^{-x^2-y^2}$: