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Conhecimentos necessários:
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Navegação
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Imagine duas retas e e g que se cruzam num ponto O, como na imagem abaixo:
Vamos supor que ambas estão grudadas como palitos de churrasco, então vamos pegar a reta e e girá-la, como na imagem abaixo:
Percebe que estamos obtendo uma figura parecendo uma ampulheta? Como se fosse dois cones conectados pelas pontas… é justamente essa figura que queremos!
Chamamos essa figura de cônica (ou seção cônica). Como obtemos elas a partir de duas retas, chamamos a reta g de geratriz da superfície cônica e a reta e de eixo da superfície.
Nessa figura, se adicionarmos um plano paralelo à geratriz da superfície cortando apenas uma parte acima ou abaixo do centro O, achamos uma parábola:
Já se adicionarmos um plano não paralelo à geratriz da superfície cortando apenas uma parte acima ou abaixo do centro O, achamos uma elipse:
Por fim, se adicionarmos um plano não paralelo à geratriz da superfície cortando duas partes (acima e abaixo do centro O), achamos uma hipérbole (aí, no caso, consideramos apenas uma das duas partes em preto):
Lembrando que todas as imagens apresentadas mostram um espaço finito, pois são apenas para representação. Mas na realidade, tudo é infinito (até as retas), como se fossem gráficos de funções!
Observe que em nenhuma imagem o plano corta o meio da figura, isso porque, se ele cortasse, resultaria em uma reta, um ponto ou simplesmente em duas retas.
Parábola é formada por pontos que possuem a mesma distância de uma determinada reta (pode ser o eixo X, por exemplo) chamada de diretriz e de um ponto fixo (chamado de foco). Ou seja:
$d(P, r) = d(P, F)$ (F é o foco)
As parábolas possuem 4 elementos principais:
Para chegar nas equações reduzidas, vamos supor que o vértice está no ponto V(0, 0). Sabendo disso, existem dois casos:
Vamos dizer que a distância da diretriz até o foco é p, então V está a uma distância de $\frac{p}{2}$ da diretriz. Assim, sabemos que a diretriz é a reta $y = -\frac{p}{2}$.
Um ponto P(x, y) está na parábola se $d(P, F) = d(P, r)$, ou se $|\vec{FP}| = |\vec{P'P}|$ (de forma que P’ seja o ponto mais próximo de P na diretriz);
Expandindo isso, temos:
$\sqrt{(x-0)^2 + (y - \frac {p}{2})^2} = \sqrt{(x-x)^2 + (y + \frac {p}{2})^2}$
Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado, temos:
$(x-0)^2 + (y - \frac {p}{2})^2 = (x-x)^2 + (y + \frac {p}{2})^2$
Expandindo e organizando, temos:
$x^2 + y^2 - py + \frac{p^2}{4} = y^2 + py + \frac{p^2}{4}$
$x^2 = 2py$
E assim chegamos na equação reduzida da parábola. No fim, ela fica assim:
Obs.: P nesse caso vale 2.
Usando a mesma lógica acima, chegamos numa equação extremamente parecida (trocar as variáveis):
$y^2 = 2px$
Obs.: P nesse caso vale 2.
O problema das equações acima é que o vértice está no ponto (0, 0)… mas e se criarmos um “plano cartesiano modificado” em que esse ponto se encontra em outro lugar? Assim, podemos colocar a parábola aonde quisermos!
Falando assim, parece loucura ou muito difícil, mas basta fazermos isso:
Nesse “novo plano cartesiano” vamos chamar as coordenadas de x’ e y’ (meio sem criatividade… eu sei…).
Nesse plano, o nosso ponto central (o ponto (0, 0)) será no lugar (h, k) do plano cartesiano original… Pronto! Já criamos! Pois temos que:
x = x’ + h y = y’ + k
Ou seja:
x’ = x - h y’ = y - k
Vamos dar um exemplo com números aqui:
Vamos supor que nesse nosso plano, o ponto central vai ser no lugar (4, 5), então temos que:
x’ = x - 4 y’ = y - 5
Ou seja, um ponto no lugar (8, 7) no plano cartesiano, fica no seguinte lugar do nosso plano:
x’ = 8 - 4 = 4 y’ = 7 - 5 = 2
Ele fica no ponto (4, 2) nesse nosso plano!
Isso de “criar nosso próprio plano cartesiano” fica mais útil aqui, em que podemos colocar a parábola aonde quisermos. Pensa comigo:
A fórmula é:
$x^2 = 2py$
Então nesse nosso plano novo fica:
$x'^2 = 2py'$
Mas como x’ = x - h e y’ = y - k, temos:
$(x-h)^2 = 2p(y-k)$
Em que h e k é onde ficará o vértice da parábola.
De forma análoga, $y^2 = 2px$ fica:
$(y-k)^2 = 2p(x-h)$
Parecidas com as equações paramétricas da retas, vamos apenas atribuir uma variável para X ou Y e isolar a variável restante. Assim, $x^2 = 2py$ fica:
$\left\{ \begin{array}{l} x = t \\ y = \dfrac{t^2}{2p} \end{array} \right. t \in \R$
Já $y^2 = 2px$, fica:
$\left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{t^2}{2p} \\ y = t \end{array} \right. t \in \R$
Pegado dois pontos quaisquer, somando a distância desses dois pontos de forma a obter uma constante, obtemos pontos que formam uma elipse. Que nem abaixo:
$d(P, F_1) + d(P, F_2) = 2a$
As elipses possuem 6 elementos principais:
