Distância entre dois pontos

Distância de dois pontos é calculada de forma idêntica ao módulo de um vetor.

Se temos o ponto $A(x_a, y_a, z_a)$ e o ponto $B(x_b, y_b, z_b)$ a distância entre A e B é $|\vec {AB}|$:

$d(A, B) = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2}$

Distância de um ponto a uma reta

Se temos um ponto $P$ e uma reta $r$, para descobrirmos a distância desse ponto até essa reta, podemos calcular a área do paralelogramo formado por $\vec {AP}$ e $\vec v$ e dividir por $|\vec v|$ para obtermos a altura, que é justamente a distância entre o ponto e a reta!

Então a fórmula fica assim:

$d(P, r) = \dfrac{|\vec{AP} \times \vec v|}{|\vec v|}$

Ou também podemos encontrar a fórmula geral de um plano perpendicular à reta e que passa por P, aí calculamos a distância de P até o ponto de interseção.

Distância de ponto a plano

A distância entre um ponto $P$ até um plano $\pi$ nada mais é do que a projeção de $\vec{AP}$ sobre $\vec n$:

$d(P, \pi) = |\text{proj}_{\vec n} \vec{AP}| = |\vec {AP} \cdot \dfrac{\vec n}{|\vec n|}|$

Expandindo isso, temos:

$d(P, \pi) = \dfrac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Outra forma de calcular isso seria encontrar uma reta perpendicular ao plano $\pi$ e que passe pelo ponto P e calcular a distância do ponto até o ponto de interseção da reta e plano.

Obs.: também podemos usar isso para calcular a distância de dois planos paralelos ou de uma reta e plano paralelos.

Distância entre duas retas

Existem 3 casos:

Retas concorrentes

Nesse caso a distância é 0, pois elas literalmente se tocam.

Retas paralelas

Nesse caso, basta pegar um ponto de alguma reta e calcular a distância entre ponto e reta com a fórmula:

$d(P, r) = \dfrac{|\vec{AP} \times \vec v|}{|\vec v|}$

(ou do jeito que preferir).

Retas inversas

Nesse caso, podemos pegar o volume e dividir pela área da base, o que sobrará a altura, que é justamente a distância das duas retas.

Para calcular o volume, precisamos fazer o produto misto dos vetores $\vec v_1$, $\vec v_2$ e $\vec {A_1 A_2}$ e pegar seu módulo, sendo que $\vec v_1$ é o vetor diretor da primeira reta, o $\vec v_2$ é o vetor diretor da segunda reta e $\vec {A_1 A_2}$ é o vetor diretor entre os pontos $A$ das duas retas. No final, ficará assim: $|(\vec v_1 \times \vec v_2) \cdot \vec {A_1 A_2}|$.

Para calcular a área, precisamos apenas fazer o produto vetorial dos vetores diretores das duas retas e pegar o módulo dele, ficando assim: $|\vec v_1 \times \vec v_2|$.

No final de tudo, a fórmula para calcular a distância entre duas retas inversas é assim:

$d(r_1, r_2) = \dfrac{|(\vec v_1 \times \vec v_2) \cdot \vec {A_1 A_2}|}{|\vec v_1 \times \vec v_2|}$