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Conhecimentos necessários:

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Fontes

Equação vetorial da reta

Suponha que temos o vetor $\vec v$ e os pontos $A$ e $P$, de forma que $\vec{AP}$ seja paralelo a $\vec v$, logo, podemos escrever isso como $\vec{AP} = t\vec v$, sendo $t$ um número real qualquer.

Mas como $\vec {AP} = P - A$, podemos escrever isso como $P - A = t \vec v$.

E assim, chegamos na equação vetorial de uma reta, que é: $P = A + t \vec v$.

Nessa equação, chamamos $\vec v$ de vetor diretor.

Com essa equação, conseguimos verificar se tal ponto está contido em tal reta ou não ou encontrarmos alguns pontos contidos na reta ao atribuir algum valor real para $t$.

Além disso, para cada reta existente, há infinitas equações vetoriais para ela, pois basta achar um novo vetor diretor paralelo a ela e um novo ponto para substituir $\vec v$ e $A$, respectivamente.

Equações paramétricas da reta

Na equação vetorial da reta, além de $P = A + t \vec v$, podemos escrever usando as coordenadas:

$(x, y, z) = (x_1, y_1, z_1) + t(a, c, b)$

E assim chegamos nas equações paramétricas da reta, que são as equações próprias de cada coordenada:

$r: \left\{ \begin{array}{l} x = x_1 + at\\ y = y_1 + bt\\ z = z_1 + ct \end{array} \right.$

Reta definida por dois pontos

É uma reta que passa por $A$ ou $B$ e tem como vetor diretor o próprio $\vec{AB}$.

Equações paramétricas de um segmento de reta

Criando uma equação vetorial de uma reta de definida por dois pontos, conseguimos verificar se tal ponto se encontra entre $A$ e $B$, apenas fazendo com que $0 \le t \le 1$, tipo assim:

$P = A + t \vec{AB}$

Mas como $\vec {AB} = B - A$, podemos também escrever como:

$P = A + t(B-A)$

Ou - se aplicarmos uma distributiva - como:

$P = tB + (t-1)A$

Equações simétricas da reta

Como $x = x_1 + at$, $y = y_1 + bt$ e $z = z_1 + ct$, conseguimos encontrar que:

$t = \dfrac{x - x_1}{a}\\ \text{}\\ t = \dfrac{y - y_1}{b}\\ \text{}\\ t = \dfrac{z - z_1}{c}$

Logo:

$\dfrac{x - x_1}{a} = \dfrac{y - y_1}{b} = \dfrac{z - z_1}{c}$

E essas seriam as equações simétricas da reta.

Equações reduzidas da reta

Consiste em usar as equações simétricas para colocar as 3 coordenadas em funções em apenas uma. Tipo assim:

Suponha que em uma reta $r$ temos o ponto $A(2, -4, -3)$ e o vetor diretor $\vec v = (1, 2, -3)$, então temos que:

$\dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y+4}{2} = \dfrac{z+3}{-3}$

Podemos transformar $y$ e $z$ em função de $x$, tipo assim:

$\dfrac{y+4}{2} = \dfrac{x-2}{1} \\ y + 4 = 2x - 4 \\ y = 2x - 8$

A mesma coisa para $z$:

$\dfrac{z+3}{-3} = \dfrac{x-2}{1} \\ z + 3 = -3x + 6 \\ x = -3x + 3$

Agora podemos reduzir as equações paramétricas em apenas:

$r: \left\{ \begin{array}{l} y = 2x - 8 \\ z = -3x + 3 \end{array} \right.$

Da mesma forma que colocar as coordenadas $y$ e $z$ em função de $x$, podemos colocar as coodernadas $x$ e $z$ em função de $y$ ou as coordenadas $x$ e $y$ em função de $z$.

Retas paralelas aos planos coordenados

Para uma reta ser paralela a algum plano coordenado, basta uma das coordenadas do vetor diretor ser 0, seguindo esse padrão:

Se a reta $r$ é paralelo ao plano xOy, então a coordenada $z$ do vetor diretor é nula;
Se a reta $r$ é paralelo ao plano xOz, então a coordenada $y$ do vetor diretor é nula;
Se a reta $r$ é paralelo ao plano yOz, então a coordenada $x$ do vetor diretor é nula.

Retas paralelas aos eixos coordenados

Já para uma reta ser paralela a um eixo, todas as coordenadas que não se referem a esse eixo do vetor diretor precisam ser nulas, dessa forma:

Se a reta $r$ é paralelo ao eixo Ox, então $\vec v = (x, 0, 0)$;
Se a reta $r$ é paralelo ao eixo Oy, então $\vec v = (0, y, 0)$;
Se a reta $r$ é paralelo ao eixo Oz, então $\vec v = (0, 0, z)$.

Ângulo de duas retas

De forma análoga aos vetores, o ângulo entre duas retas é o menor ângulo formado entre elas, em que também é válido isso aqui:

$\cos \theta = \dfrac{|\vec {v_1} \cdot \vec {v_2}|}{|\vec {v_1}||\vec {v_2}|}$, em que $0° \le \theta \le 90°$, $\vec {v_1}$ é o vetor diretor da primeira reta e $\vec {v_2}$ é o vetor diretor da segunda reta.

Retas ortogonais

Também de forma análoga aos vetores, se as retas $r_1$ e $r_2$ são ortogonais, então o produto escalar de seus vetores diretores é 0.

$r_1 \perp r_2 \Longleftrightarrow \vec v_1 \cdot \vec v_2 = 0$

Reta ortogonal a duas retas

Se temos as retas $r$, $r_1$ e $r_2$, de forma que $r$ seja ortogonal à $r_1$ e $r_2$, então temos que:

$\vec v \cdot \vec v_1 = 0 \\ \vec v \cdot \vec v_2 = 0$

Ou podemos usar o produto vetorial:

$\vec v = \vec v_1 \times \vec v_2$

Interseção de duas retas

Se duas retas se intersectam, então existe um valor para $x$, $y$ e $z$ que sejam iguais para as duas retas, ai basta resolvermos usando sistema.

Um exemplo:

$r_1 : \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + h \\ y = 1 + 2h \\ z = 2 - h \end{array} \right.

\text{ { } { } { } }

r_2 : \left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 3t \\ y = -3 - 2t \\ z = 4 + t \end{array} \right.$

Basta igualarmos todas as coordenadas:

$3 + h = 5 + 3t \\ 1 + 2h = -3 - 2t \\ 2 - h = 4 + t$

Isolando as incógnitas:

$h - 3t = 2 \\ 2h + 2t = -4 \\ -h - t = 2$

Resolvendo o sistema encontramos que $h = -1$ e $t = -1$ e, após isso, substituindo, encontramos que o ponto de interseção é $(2, -1, 3)$.

Obs.: se o sistema não tiver solução possível única, então as retas não são concorrentes.

Obs. 2: se duas retas não são coplanares, ela não consideradas reversas.