<aside>
Conhecimentos necessários:
Nenhum.
</aside>
<aside>
Navegação
</aside>
Existem duas grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são apenas um número. Servem perfeitamente para informar a temperatura, pressão, tempo…
Mas e para indicar força e aceleração, por exemplo? Informar que tal objeto exerce uma força de 10 N é informação insuficiente, mas precisamos saber a direção e sentido dessa força - o mesmo vale para a aceleração. É nesses momentos que usamos as grandezas vetoriais, que são representadas por vetores.
Vetores são segmentos indicados por uma seta. Eles são usados para determinar módulo (ou intensidade ou comprimento), direção e sentido.
Imagine que você está guiando alguém com um carro. Você pode falar para a pessoa virar para qualquer lado, seja 20º para a esquerda ou 37º para a direita. Isso nada mais é do que a direção de um vetor! Em seguida, você fala se a pessoa vai para frente ou para trás (da ré, no caso desse exemplo), né? Isso é o sentido. Em seguida, você falar com que velocidade a pessoa deve ir é o módulo do vetor (ou intensidade do vetor).
São muito uteis na física, por exemplo: em cenários que algo aplica uma força em newtons em algum objeto, precisamos saber quantos newtons foram aplicados (a intensidade), a direção e o sentido.
Sabendo disso, só podemos dizer que tais vetores têm sentidos iguais ou sentidos contrários caso a direção de ambos sejam as mesmas.
Dois ou mais vetores de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido podem ser representados pelo mesmo vetor. Supondo que um deles vão do ponto A (origem) ao ponto B (extremidade do segmento), todos podem ser representados por $\vec{AB}$.
Podemos escrever $\vec{v} = \vec{AB}$, de forma que qualquer vetor com mesmo comprimento, direção e sentido pode ser representado por $\vec v$, independentemente do ponto de origem, então podemos chamá-lo de vetor livre, pois ele pode começar de qualquer ponto existente.
$\vec{AB}$ pode ser escrito como $B-A$.
Podemos somar dois vetores. Para isso, basta colocar onde o segundo começa no mesmo ponto em que o primeiro acaba. Traçando uma novo vetor do início do primeiro até o final do segundo, teremos o vetor resultante. Tipo assim:
$\vec u = \vec{AB} \\ \vec v = \vec{BC} \\ \vec u + \vec v = \vec {AC}$
Isso também se aplica para 3 ou mais vetores sendo somados.
Também há como fazer a soma de dois vetores colocando ambos no mesmo ponto de origem e completando um paralelogramo com vetores idênticos. A diagonal desse paralelogramo será o vetor resultante.
Se o vetor resultante tiverem a origem e a extremidade no mesmo ponto, isso significa que ele é um vetor nulo.
Para fazer a subtração de vetores, basta somar com o oposto. Fazendo um paralelogramo, uma diagonal é a soma de vetores, enquanto a outra é a diferença.
Para calcular o módulo do vetor resultante, basta utilizar a lei dos cossenos.
Imagine um vetor qualquer $\vec v$. Multiplicando ele por um número qualquer $\alpha$, temos $\alpha \vec v$, de forma que seu módulo é $|\alpha \vec v|$ e seu sentido depende de $\alpha$:
A direção de $\alpha \vec v$ continua a mesma.
Sabendo disso, se existe dois vetores paralelos distintos $\vec u$ e $\vec v$, então existe um número real $\alpha$ que faça $\vec u$ ser igual a $\alpha \vec v$ (apenas se $\vec v$ não for um vetor nulo)
Para divisão de vetores a lógica é idêntica.
Então, podemos dizer que para um vetor qualquer $\vec v$, seu versor é $\dfrac{\vec v}{|\vec v|}$.
O ângulo de dois vetores pode ser chamado de $\theta$, de forma que seja o ângulo menor entre dois vetores que foram colocados no mesmo ponto de origem:
$0° \le \theta \le 180°$
ou $0 \le \theta \le \pi$ (em radianos)
Dois vetores quaisquer não paralelos podem formar formar qualquer outro vetor existente no plano quando multiplicados pelos números ideais. Em outras palavras, se temos os vetores $\vec{v_1}$ e $\vec{v_2}$ e eles não são paralelos, podemos formar qualquer vetor coplanar $\vec u$. Então podemos escrever qualquer vetor coplanar assim: $\vec u = \alpha \vec v_1 + \beta \vec v_2$. Se $\vec v_1$ e $\vec v_2$ são fixos, então podemos colocarmos em um conjunto chamado de base de plano. Nesse caso, colocá-los-ei no conjunto $B = \{\vec v_1, \vec v_2\}$. Se eles são fixos, posso simplificar a conta $\vec u = \alpha \vec v_1 + \beta \vec v_2$, concorda? Pois, a única coisa que muda aí os valores são $\alpha$ e $\beta$. Então posso escrever assim: $\vec u = (\alpha, \beta)_B$ ou $\vec u_B = (\alpha, \beta)$, simplificando minha conta.
Ei, mas percebeu alguma coisa? Isso não parece coordenadas de um ponto em um plano cartesiano? É exatamente a mesma lógica! Tanto que $\alpha$ e $\beta$ são chamados de coordenadas também!
O plano cartesiano é o que chamamos de ortonormal, que significa que $\vec v_1$ e $\vec v_2$ são ortogonais e unitários. Nesse plano xOy, chamamos $\vec v_1$ de $\vec i$ e $\vec v_2$ de $\vec j$ e o centro de $\text O$. Esses dois vetores estão na base que chamamos de canônica: $C = \{ \vec i, \vec j \}$. Por se tratar do plano mais usado, nem precisamos indicar a base nas coordenadas, então escrevemos direto assim: $\vec i = (1, 0)$ e $\vec j = (0, 1)$.
Como o centro de tudo isso é $\text O$, dado um ponto qualquer $P(x, y)$, o vetor $\vec u = (x, y)$ nada mais é do que o vetor $\vec{OP}$.
Obs.: Lembre-se que no plano cartesiano o eixo X é chamado de eixo das abscissas enquanto o eixo Y é chamado de eixo das ordenadas.
Sabendo disso, podemos dizer que dois vetores são iguais se as coordenadas deles forem as mesmas. Por exemplo:
$\vec a = (a_1, a_2);\\ \vec b = (b_1, b_2).$
Se $a_1$ for igual a $b_1$ e $a_2$ for igual a $b_2$, então os vetores $\vec a$ e $\vec b$ são iguais!
Fica muito mais fácil escrevendo dessa forma, pois basta fazer a operação com cada uma das coordenadas. Alguns exemplos:
$\vec a = (a_1, a_2) \land \vec b = (b_1, b_2) \Longrightarrow \vec a + \vec b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$
$\vec c = (c_1, c_2) \Longleftrightarrow \alpha \vec c = (\alpha \cdot c_1, \alpha \cdot c_2)$
Lembra que falei que um vetor $\vec {AB}$ pode se escrito como $B-A$? Justamente por isso das coordenadas! É como que se $B$ fosse $\vec {OB}$ e $A$ fosse $\vec {OA}$ e estivéssemos subtraindo o primeiro vetor do segundo.
Se existe um ponto $P(b_1 - a_1, b_2 - a_2)$, então existe o vetor $\vec {OP}$ que é igual a $\vec {AB}$. Como $\vec {OP}$ começa do centro $O$, dizemos que ele é o vetor posição ou vetor representante de $\vec {AB}$.
Observe que se $\vec {AB}$ é $B-A$, então $B = \vec {AB} + A$.
Se temos o ponto $A(x_a, y_a)$ e o ponto $B(x_b, y_b)$, então temos um ponto médio $M(x_m, y_m)$. Assim, podemos concluir que:
$\vec {AM} = \vec {MB}$, de forma que $x_m = \dfrac{x_a + x_b}{2}; y_m = \dfrac{y_a + y_b}{2}$.
Dois vetores quaisquer $\vec u$ e $\vec v$ são paralelos se $\vec u = \alpha \vec v$ ou $(x_u, y_u) = (\alpha \cdot x_v, \alpha \cdot y_u)$. Com isso, conseguimos chegar que dois vetores quaisquer $\vec u$ e $\vec v$ são paralelos se:
$\dfrac{x_u}{x_v} = \dfrac{y_u}{y_v} = \alpha$.
Se temos um vetor qualquer $\vec v = (x, y)$, então seu módulo é $|\vec v| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Chegamos nisso usando Teorema de Pitágoras. Um exemplo:
Se temos $\vec v = (3, 4)$, então $|\vec v| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Tudo isso que vimos, foi em 2D. Mas nada disso se limita à apenas duas dimensões! Podemos considerar um espaço tridimensional e aumentar uma coordenada! Assim, a base canônica fica: $C = \{ \vec i, \vec j, \vec k \}$, isso no plano Oxyz, em que O é o centro. Esse terceiro eixo é chamado de eixo das cotas.
Visto que o plano cartesiano possui o primeiro, segundo, terceira e quarto quadrante, no espaço temos 8 octantes, de forma que o primeiro octante fica acima do primeiro quadrante, o segundo acima do segundo, o terceiro acima do terceiro, o quarto acima do quarto, o quinto abaixo do primeiro, o sexto abaixo do segundo, o sétimo abaixo do terceiro e o oitavo abaixo do quarto.
De resto, tudo funciona de maneira análoga: somar ou subtrair as coordenadas (ou multiplicá-las por um valor qualquer), a igualdade, etc.
Obs.: se $\vec v = (x, y, z)$, então seu módulo é $| \vec v | = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
Outra obs.: no caso de vetores no espaço, 3 vetores quaisquer não coplanares conseguem formar qualquer vetor no espaço.