Quando $a = 0$, o plano é paralelo ao eixo x.
<aside>
Conhecimentos necessários:
Produto escalar, vetorial e misto
</aside>
<aside>
Navegação
</aside>
Quando se trata de vetores espaciais, uma reta é perpendicular a um plano inteiro, então podemos usar isso para chegar na equação geral de um plano!
Pegando um vetor não nulo $\vec n = (a, b, c)$ (que chamaremos de vetor normal) que é perpendicular ao plano $\pi$, podemos pegar dois pontos ($A(x_1, y_1, z_1)$ e $P(x, y, z)$) do plano e montar o vetor $\vec {AP}$. Por serem perpendiculares, sabemos que:
$\vec n \cdot \vec {AP} = 0$
Ou também:
$\vec n \cdot (P - A) = 0$
Expandindo isso, temos:
$(a, b, c) \cdot (x - x_1, y - y_1, z - z_1) = 0 \\ ax + by + cz - ax_1 - by_1 - cz_1 = 0$
Mas o ponto $A$ e o vetor normal serão sempre os mesmos, então a parte de $- ax_1 - by_1 - cz_1$ sempre será igual. Logo, podemos chamá-la de $d$, o que faz a equação ficar assim:
$ax + by + cz + d = 0$
E essa é a equação geral do plano, de forma que $a$, $b$ e $c$ são os coeficientes do vetor normal e $x$, $y$ e $z$ são as coordenadas do ponto que queremos verificar se está no plano.
Obs.: assim como a equação vetorial da reta, a equação geral do plano possui infinitas possibilidades de serem montadas.
Se um plano intercepta os eixos coordenados nos pontos (p, 0, 0), (0, q, 0) e (0, 0, r), de forma que p, q e r são diferentes de zero, então temos:
$\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} + \dfrac{z}{r} = 1$
Isso é chamada de equação segmentária do plano.
Se temos um plano $\pi$, um ponto $A(x_0, y_0, z_0)$ nesse ponto e dois vetores $\vec u = (a_1, b_1, c_1)$ e $\vec v = (a_2, b_2, c_2)$ paralelos a esse plano, mas não paralelos entre si, então temos que:
$P - A = h \vec u + t \vec v$
Ou
$P = A + h \vec u + t \vec v$
Que nada mais é do que a equação vetorial do plano.
Obs.: $\vec u$ e $\vec v$ são chamados de vetores diretores do plano.
E, com isso, conseguimos as equações paramétricas do plano também:
$\left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + ha_1 + ta_2 \\ y = y_0 + hb_1 + tb_2 \\ z = z_0 + hc_1 + tc_2 \\ \end{array} \right.$
Em que $h, t \in \R$ e são chamados de parâmetros.
Outra forma de encontrar as equações paramétricas é igualando duas coordenadas a h e t e encontrando o valor da variável restante em função de h e t.
Se temos os pontos $A$, $B$ e $C$, e $\vec {AB}$ e $\vec {AC}$ formando um paralelogramo, então a equação vetorial de um paralelogramo seria:
$P = A + h\vec{AB} + t\vec{AC}$
Mas $0 \le h, t \le 1$.
Quando uma das variáveis da equação geral do plano são nulas, temos algumas particulares curiosas:
Quando duas variáveis são nulas, acontece algo parecido:
Isso ocorre, pois a coordenada restante virará uma constante. Um exemplo de quando a = b = 0:
Assim, a equação $ax + by + cz + d = 0$ seria apenas $cz + d = 0$. Assim, temos que:
$cz + d = 0 \\ cz = -d \\ z = \frac{-d}{c}$
Ou seja, uma constante. Em outras palavras, qualquer ponto que tenha $z$ igual a esse número já estará no plano.
Obs.: isso quer dizer que esse plano está a $\frac{-d}{c}$ de distância do plano xOy.
Se temos dois planos $\pi_1$ e $\pi_2$, o ângulo entre eles é o mesmo ângulo dos vetores normais deles. Assim, também temos que:
$\cos \theta = \dfrac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$, em que $0° \le \theta \le 90°$.
Se dois planos são perpendiculares, então o produto escalar dos seus vetores normais precisam dar zero:
$\vec n_1 \cdot \vec n_2 = 0$
Para uma reta ser paralelo a um plano, ela só precisa ser ortogonal ao vetor normal do plano, ou seja:
$\vec v \cdot \vec u = 0$
Já para ela ser perpendicular a um plano, ela só precisa ser paralela ao vetor normal do plano, ou seja:
$\vec v = \alpha \vec n$
Para uma reta $r$ estar contida em um plano $\pi$ ela precisamos verificar que ela é paralela ao plano e que o ponto $A$ da reta está contido no plano, ou seja:
Ou também podemos provar que existem dois pontos distintos dessa reta no plano, já que isso é o suficiente para provar que a reta está nesse plano, pois só existem três possibilidades:
A interseção de dois planos não paralelos é uma reta, então resultará em um sistema possível e indeterminado.
Por exemplo:
Os planos $\pi_1:5x-y+z-5=0$ e $\pi_2:x+y+2z-7=0$ não são paralelos, então possuem a seguinte reta como interseção:
$r: \left\{ \begin{array}{l} 5x-y+z-5=0 \\ x+y+2z-7=0 \end{array} \right.$ Colocando os valores em função de x - para encontrar as equações reduzidas de $r$ -, temos:
$r: \left\{ \begin{array}{l} y = 3x -1 \\ z = -2x +4 \end{array} \right.$
Ou também podemos encontrar o vetor diretor da reta por meio do produto vetorial:
$\vec v = \vec n_1 \times \vec n_2$
E depois encontramos um ponto qualquer ao substituir X por um valor qualquer e encontrar os valores de Y e Z que satisfaça as equações dos dois planos para encontrar um ponto desta reta e usarmos como o ponto $A$ da equação vetorial da reta.
Basta encontrar os valores de X, Y e Z na equação geral do plano pelos X, Y e Z, respectivamente, das equações paramétricas da reta e encontrar o valor de $t$ para encontrar o ponto de interseção. Um exemplo:
$r: \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 2t \\ y = 5 + 3t \\ z = 3 - t \end{array} \right.$
$\pi:2x - y + 3z - 4 = 0$
Para encontrar o ponto de interseção, basta substituir os valores de X, Y e Z:
$2(-1+2t) -(5+3t) +3(3-t) - 4 = 0 \\ -2+4t-5-3t+9-3t-4=0 \\ -2t = 2 \\ t = \frac{2}{-2} = -1$
Agora basta substituir $t$ por $-1$:
$x = -1 +2(-1) = -3 \\ y = 5 + 3(-1) = 2 \\ z = 3 -(-1) = 4$
Logo, o ponto de interseção é $P(-3, 2, 4)$