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Conhecimentos necessários:
Funções de Várias Variáveis Reais
Produto escalar, vetorial e misto
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Navegação
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Imagino que já tenha achado um problema quando pensou em derivar funções com mais de uma variável… é nesses momentos que usamos as derivadas parciais!
As derivadas parciais, como o próprio nome sugere, servem para derivar apenas uma parte da função: só derivaremos uma variável e o resto consideraremos como constante. Tipo assim:
Imagine a função $f(x, y) = x^2 + y^2$. Vamos derivar parcialmente ela em relação a X, ou seja, todas as variáveis restantes vamos fingir que são constantes. então fica assim:
$\dfrac{\partial}{\partial x} f(x, y) = 2x$
Viu só? Essa é a notação da derivada parcial e derivamos o X e o Y fingimos que é uma constante, então a derivada parcial de x² é 2x e de y² é zero. Vamos derivar parcialmente em relação a Y:
$\dfrac{\partial}{\partial y} f(x, y) = 2y$
Viu? É tranquilo! Só cuidado para não confundir o que fingimos que é constante. Observe mais um exemplo:
$g(x, y) = x^3 + xy^2 \Longrightarrow \dfrac{\partial g}{\partial x} = 3x^2 + y^2 \,\text{ e }\, \dfrac{\partial g}{\partial y} = 2xy$
E funciona da mesma forma para derivadas sucessivas! Mas aqui podemos derivar duas vezes em relação a X, uma em relação a X e outra em relação a Y, ou duas vezes em relação a Y… aqui temos mais possibilidades! Se derivarmos apenas em relação a uma variável, chamamos isso de derivadas puras, enquanto se derivarmos em mais de uma variável seguidas, aí chamamos de derivadas mistas. Pegando os exemplos acima, temos:
Percebe que quando derivamos primeiro em relação a X e depois em relação a Y obtemos o mesmo resultado de quando fazemos o contrário? Existe um teorema que fala sobre isso, seu nome é Teorema de Clairaut ou Teorema de Schwarz:
Se a função $f(x, y)$ é contínua numa área contendo o ponto $(a, b)$ e as derivadas parciais de segunda ordem existem, então:
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$
Voltando um pouco ao conceito de derivada, ela é o coeficiente angular de reta tangente à função em um ponto específico, né? Nas funções com duas variáveis existem infinitas retas tangentes em um só ponto, então a derivada parcial nos ajuda a encontrar apenas alguns desses coeficientes angulares:
$\dfrac{\partial f}{\partial x}$ é o coeficiente angular da reta tangente que é paralela ao plano xz.
$\dfrac{\partial f}{\partial y}$ é o coeficiente angular da reta tangente que é paralela ao plano yz.
Por fim, $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ podem também serem representados como $f_x$ e $f_y$, respectivamente.
Da mesma forma, $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$, $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ e $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ podem ser representados como $f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yx}$ e $f_{yy}$, respectivamente (cuidado que as notações possuem ordem contrárias).
Pense comigo: se há infinitas retas tangentes num ponto, nada mais há do que um plano inteiro. Podemos encontrar esse plano a partir da seguinte fórmula:
$z - z_0 = \dfrac{\partial}{\partial x} f(x_0, y_0)(x - x_0) + \dfrac{\partial}{\partial y} f(x_0, y_0)(y - y_0)$
De forma que $(x_0, y_0, z_0)$ é justamente o ponto em que o plano é tangente.
Considerando a função $f(x, y) = 2x^2 + y^2$, vamos tentar calcular o plano tangente no ponto (1, 1, 3):
Logo de cara já temos que $x_0 = 1$, $y_0 = 1$ e $z_0 = 3$.
Agora, calculando as derivadas parciais, temos:
$\dfrac{\partial}{\partial x}f(x, y) = 4x$
$\dfrac{\partial}{\partial y}f(x, y) = 2y$
Substituindo por $x_0$ e $y_0$, temos:
$\dfrac{\partial}{\partial x}f(1, 1) = 4$
$\dfrac{\partial}{\partial y}f(1, 1) = 2$
Agora, substituindo tudo na fórmula, temos:
$z - 3 = 4(x - 1) + 2(y - 1)$
Essa equação resulta no plano tangente no ponto (1, 1, 3).
Podemos usar isso para aproximações lineares, que nada mais é do que usar a equação do plano para encontrar valores aproximados da função próximos ao ponto. Por exemplo, se eu quiser encontrar o valor de Z para o ponto (1,1; 1,1), posso usar a equação do plano, pois é um ponto bem próximo de (1, 1). Olhe só:
$z - 3 = 4(1,1 - 1) + 2(1,1 - 1) \\ z - 3 = 4(0,1) + 2(0,1) \\ z - 3 = 0,4 + 0,2 \\ z = 0,6 + 3 \\ z = 3,6$
Vamos aplicar isso na função original para ver se essa aproximação está boa:
$f(1,1; 1,1) = 2(1,1)^2 + (1,1)^2 = 2,42 + 1,21 = 3,63$
Resultou em um valor bem próximo, está vendo? Nesse exemplo, até que nem precisámos disso, pois ambas as formas gastaram quase o mesmo esforço, mas se fosse funções logarítmicas, por exemplo, essas aproximações lineares facilitam muito!
A regra da cadeia tradicional você já conhece, que é:
$\dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$
Mas se temos uma função com duas variáveis, mas cada variável é uma função? Tipo, temos uma função qualquer $f(x, y)$, mas $x = g(t)$ e $y = h(t)$, ou seja, cada variável é uma função que possui a mesma variável em comum (nesse caso, é a variável t), então podemos substituir tudo por essas funções e derivar tudo em relação a t, ou podemos usar a seguinte regra da cadeia:
$\dfrac{df}{dt} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \cdot \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \cdot \dfrac{dy}{dt}$
Talvez tenha ficado um pouco confuso… então vamos a um exemplo!
Considere $f(x, y) = x^2 + y^2$, $x = \text{sen}(t)$ e $y = \ln(t)$. Sabendo disso, vamos calcular $\dfrac{df}{dt}$:
Primeiramente, vamos calcular todas as derivadas que precisamos:
$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2x$
$\dfrac{dx}{dt} = \cos (t)$
$\dfrac{\partial f}{\partial y} = 2y$
$\dfrac{dy}{dt} = \dfrac1t$
Agora vamos substituir na fórmula!
$\dfrac{df}{dt} = 2x \cdot \cos(t) + 2y \cdot \dfrac1t$
Mas algumas coisas ainda estão em função de X e Y, né? Vamos substituir!
$\dfrac{df}{dt} = 2 \cdot \text{sen}(t) \cdot \cos(t) + 2 \cdot \ln(t) \cdot \dfrac1t$
E esta é a derivada da função por inteira em relação a t!
Agora só arrumando para ficar mais bonitinho…
$\dfrac{df}{dt} = 2 \cdot( \text{sen}(t) \cdot \cos(t) + \dfrac{\ln(t)}{t})$
Dentre todas as infinitas retas tangentes existentes num ponto, existe uma que está virada para um ponto extremo (seja esse máximo ou mínimo) e, consequentemente, possui a maior taxa de variação. Conseguimos descobrir o sentido dessa reta a partir do vetor gradiente, que possui a seguinte fórmula:
$\nabla f = (\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y})$
Esse $"\nabla f"$ é o nosso vetor gradiente. Para calculá-lo parece bem fácil, né? Pois é! Vamos num exemplo!
Vamos calcular o vetor gradiente no ponto (1, 2) da seguinte função:
$f(x, y) = \ln(xy)$
Primeiro vamos descobrir as derivadas parciais:
$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{y}{xy}$