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Conhecimentos necessários:
Função afim ou função de primeiro grau
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Navegação
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Essa aí pode parecer meio quadrada, mas relaxa! De quadrada ela não tem nada!
Assim como qualquer função, ela pode ser representada em um gráfico e, diferente da função afim, essa apresenta curvas (chamada de parábola), como mostrado na imagem abaixo:
O que a caracteriza é a presença de um $x^2$.
Sua regra geral é $ax^2+bx+c$, ou seja, a mesma da função afim, só que com um x² multiplicado por algum número.
Assim como na função afim, A, B e C desempenham papéis diferentes:
O coeficiente A controla a concavidade da parábola, ou seja, o quão aberta ela será:
Esse A nunca poderá ser igual a zero, pois assim exclui o x² e deixa de ser uma função do segundo grau, né?
O coeficiente B move o gráfico para os lados e para baixo, simultaneamente.
O coeficiente C mexe na altura do gráfico da função.
Agora pensa comigo: se o gráfico faz uma curva, ela pode não encostar no eixo X, encostar só uma vez ou até duas vezes, né? Isso que é o especial da função de segundo grau: ela pode não ter nenhuma, ter uma ou ter duas raízes!
Para descobrir quantas raízes existem, usaremos o delta!
O delta é frequentemente associado à variação de alguma coisa, mas aqui ele representa o discriminante da equação quadrática. Assim, ele terá a seguinte fórmula:
$\Delta = b^2 - 4ac$.
Com as raízes em mente, usaremos a famosa fórmula de Bhaskara para descobrir essas raízes:
$x = \dfrac{-b \text{ } \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
De início, essa fórmula pode aparecer assustadora, mas é bem simples, confie em mim!
Justamente por poder ser algumas raízes que na fórmula tem esse $\pm$. Com uma operação achamos uma raiz e com a outra operação achamos a segunda raiz.
Vamos a um exemplo!
$f(x)=x^2+2x-3$
Nesse exemplo aí, o A seria o 1 (que é o número que multiplica o x²), o B seria o 2 e o C seria o -3. Feito isso, basta aplicar na fórmula e resolver:
$x = \dfrac{-2 \text{ } \pm \sqrt{2^2 - 4.1.(-3)}}{2.1}$
$x = \dfrac{-2 \text{ } \pm \sqrt{4 - (-12)}}{2}$
$x = \dfrac{-2 \text{ } \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$
$x = \dfrac{-2 \text{ } \pm \sqrt{16}}{2}$
$x = \dfrac{-2 \text{ } \pm 4}{2}$
Agora vem a parte que consideramos duas respostas. Vou chamar de $X_1$ e $X_2$:
$X_1 = \dfrac{-2 \text{ } + 4}{2}$
$X_1 = \dfrac{2}{2}$
$X_1 = 1$
Agora vamos para a segunda possível resposta:
$X_2 = \dfrac{-2 \text{ } - 4}{2}$
$X_2 = \dfrac{-6}{2}$
$X_2 = -3$
Assim, encontramos que as raízes de $f(x)=x^2+2x-3$ são 1 e -3.
E quando não tiver o B ou o C, basta substituí-los por 0 na fórmula!
Nesse tipo de função, o conjunto imagem já não serão todos os números reais, né? Porque o que estiver fora da parábola não poderão ser imagem de nenhum X existente. Esse tipo de função tem essas limitações do conjunto imagem! Coisa que não ocorre no conjunto domínio.
Sendo uma parábola, ela tem um ponto mais baixinho ou mais altinho do que qualquer outro, certo? E se eu te falar que tem como descobrirmos as coordenadas desse ponto, você acreditaria?
Para encontrarmos a coordenada X do vértice, usamos a seguinte fórmula:
$X_v = \dfrac{-b}{2a}$
E para a coordenada Y, usamos a seguinte fórmula:
$Y_v = \dfrac{-\Delta}{4a}$
Como exemplo, vou usar a mesma função criada acima:
$f(x) = x^2 + 2x - 3$
$X_v = \dfrac{-2}{2.1} = -1$
$Y_v = \dfrac{-(2^2-4.1.(-3))}{4.1} = \dfrac{-(4-(-12))}{4} = \dfrac{-(4 + 12)}{4} = \dfrac{-16}{4} = -4$
Ou seja, o vértice dessa parábola está localizado nas coordenadas (-1, -4):
