O que é?

Essa função é o oposto da função exponencial. Ela se dá pela presença do $\log$ na função. Um exemplo:

$f(x) = \log (x)$

Ah! Mas lembrando do funcionamento do logaritmo, o conjunto domínio dessa função se limita apenas aos números maiores que zero.

Gráfico

Sendo o oposto da função exponencial, o gráfico também não será diferente:

Sendo a função logarítmica representada pelo gráfico verde e a função exponencial representada pelo gráfico azul.

Função crescente ou decrescente

Assim como na função exponencial, apenas olhando a base (do logaritmo) podemos saber se a função é crescente ou decrescente:

Se a base for maior do que 1, a função é crescente.
Se a base for menor do que 1, a função é decrescente.

Assim, $f(x) = \log_2 (x)$ é crescente, enquanto $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} (x)$ é decrescente.

Conjunto domínio

Lembra que na função exponencial o conjunto imagem é acima de zero? Por essa função aqui ser o oposto, isso acontece para o conjunto domínio. Ou seja, x não pode ser menor ou igual a zero, ficando isso:

$D = \{ x \in \mathbb{R} \text{ } | \text{ } x > 0 \}$