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Conhecimentos necessários:
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Navegação
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Imagine pegarmos uma cônicas e a girarmos em torno de algum eixo fixo… teríamos algo em 3D, certo? Isso que são as quádricas! Sólidos de revolução.
É o que obtemos ao girar uma elipse.
Ela se constrói a partir da seguinte equação:
$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1$
Em que a, b e c são as distâncias entre o centro e a superfície do elipsoide nos eixos x, y e z, respectivamente.
Caso queira movê-la da origem O, pode usar a seguinte fórmula:
$\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} + \dfrac{(z-l)^2}{c^2} = 1$
Em que (h, k, l) é o ponto que define o centro do elipsoide.
É o que obtemos ao girar uma hipérbole.
Lembra a equação acima, mas precisa possuir um ou dois termos como negativo. Por exemplo:
$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$
Ou
$-\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$
Nunca 3 termos negativos ou positivos.
Sempre a variável que ficar com sinal diferente dois demais será o eixo que estará o hiperboloide (seja um negativo e dois positivos, ou um positivo e dois negativos).
Obs.: Caso não queira o centro no ponto O, basta fazer o mesmo que na elipsoide.
É o que obtermos ao girar uma parábola.
A equação também é bem semelhante às duas acima, mas com uma variável isolada (o eixo em que ficará o paraboloide):
$x = \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2}$
$y = \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{z^2}{c^2}$
ou $z = \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}$
Possui as mesmas equações, mas com um termo negativo:
$x = \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2}$
$y = \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{z^2}{c^2}$
ou $z = \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2}$
Nesse tipo de paraboloide, dependendo do eixo que você olha, a parábola pode estar virada para um lado e no outro eixo ela está virada para o outro.