Sentenças abertas

Uma sentença abertas seria tipo uma função matemática, mas para a lógica proposicional, por exemplo:

No lugar de falar “Todos os animais são mortais”, podemos falar “x é mortal”, em que x é uma informação que podemos colocar e só depois verificar se é verdadeiro ou não. Escrevemos isso de um jeito bem parecido com funções:

$P(x): \text{x é mortal}$

Se x for “coelho”, essa afirmação é verdadeira, mas se for “pedra”, já é falsa.

Para limitar o que podemos colocar para assumir o valor de x, usamos o universo de discurso, tipo assim:

$U = \text{animais e objetos existentes}$

Ou seja, só posso colocar como valor de x os animais e objetos que existem.

Juntando tudo, escrevemos assim:

$P(x): \text{x é mortal}, U = \text{animais e objetos existentes}$

Dito isso, concorda comigo que terá opções que farão essa sentença aberta ser verdadeira e terá outras que farão ela ser falsa? Juntando todas as opções que farão a sentença ser verdadeira, obtemos o o conjunto-verdade. Como exemplo, considere a seguinte sentença aberta:

$P(x): x > 10, U = \N$

Seu conjunto verdade seria:

$V_{P(x)} = \{ x \text{ | } x \in \N \land P(x) \}$

$V_{P(x)} = \{ 11, 12, 13, 14, 15, 16, ... \}$

Obs.: Pode existir uma sentença com mais de uma variável. Um exemplo seria: $P(x, y): x + y > 10$

Quantificadores

Os quantificadores são tipo uns agentes que testam as opções para nós. Um desses agentes, seria o quantificador universal $(\forall)$:

Ele serve para dizer que todas as opção do universo de discurso tornam a sentença verdadeira, caso contrário, será falso a proposição que o contenha. Um exemplo:

$\forall x \in \N, x + 4 > 3$

Essa proposição é verdadeira, pois qualquer que seja o valor de n no conjunto dos números naturais, de fato n + 4 é maior do que 3. Já essa proposição:

$\forall x \in \Z, x > 0$

é falsa, pois nem todos os valores de $\Z$ tornam essa proposição verdadeira.

Também existe o quantificador universal $(\exist)$:

Ele serve para dizer que existe pelo menos uma opção que torne a sentença verdadeira, caso contrário, será falso a proposição que o contenha. Um exemplo:

$\exist x \in \N, x < 2$

Isso é verdade, pois existe um valor natural que seja menor do que 2, como o 1 ou 0. Logo, essa proposição é verdadeira. Já essa proposição:

$\exist x \in \R, \sqrt{-1} = x$

É falso, pois não existe um número real que seja o resultado da raiz de -1.

Negação de quantificadores

Um quantificador é a negação do outro, logo, para negar proposições que os contenha, basta fazer assim:

$\neg [\forall x, P(x)] \equiv \exist x, \neg P(x)$

$\neg [\exist x, P(x)] \equiv \forall x, \neg P(x)$