<aside>
Conhecimentos necessários:
Nenhum.
</aside>
<aside>
Navegação
</aside>
Proposições são palavras, símbolos ou frases declarativas que indicam afirmações, sejas essas falsas ou verdadeiras.
Alguns exemplos:
Toda proposição é verdadeira ou falsa, nunca as duas ao mesmo tempo.
Elas também podem ser classificadas em simples (com uma afirmação) ou compostas (com mais de uma afirmação).
São os elementos que modificam proposições ou os conectivos que fazem as proposições compostas. Existem 5 tipos de operações lógicas básicas:
Representada por esse símbolo: $\neg$
Ou por esse símbolo: ~
Tem o objetivo de inverter o valor lógico de cada proposição: se ela verdadeira, se torna falsa. Se for falsa, se torna verdadeira.
Um exemplo:
Suponha a afirmação $A$: “A Terra é plana”. Essa afirmação é falsa, mas usando esse operador lógico, ela se torna verdadeira. Observe $\neg A$: “Não é verdade que a Terra é plana”.
Representada por esse símbolo: ^
Esse operador lógico criará uma proposição composta que só será verdadeira se as duas simples forem verdadeiras. Para um exemplo, considere essas duas afirmações:
$A$: “Brasil é um país”. (verdadeira)
$B$: “Estados Unidos é um país”. (verdadeira)
Com esse operador lógico, ficaria assim:
$A \land B$: “Brasil é um país e Estados Unidos é um país”. (também verdadeira)
Mas se A ou B fosse uma proposição falsa, a proposição composta também seria.
Representada por esse símbolo: v
Esse operador lógico criará uma proposição composta que só será verdadeira se alguma das duas simples for verdadeira. Um exemplo:
$A$: 1 = 2. (falsa)
$B$: 2² = 4 (verdadeira)
$A \lor B$: “1 = 2 ou 2² = 4” (verdadeira)
Com outras palavras, ela só será falsa quando as duas proposições forem falsas.
Também chamada de condicional, é representada por esse símbolo: $\rightarrow$
Esse operador lógico criará uma proposição composta que só será falsa se a primeira for verdadeira e a segunda for falsa. Então esse é o único operador lógico que a ordem das proposições alteram o valor lógico final. Um exemplo:
Suponha que ontem choveu e não molhou o quintal de casa!
$A$: “Choveu”. (verdadeira)
$B$: “Molhou o quintal de casa” (falsa)
$A \rightarrow B$: “Se chover, então molhou o quintal de casa” (falsa, pois choveu e não molhou).
Também chamada de bicondicional, é representada por esse símbolo: $\leftrightarrow$
Esse operador lógico criará uma proposição composta que só será verdadeira se as duas proposições simples tiverem valores iguais. Um exemplo:
$A$: 1 = 10. (falsa)
$B$: 10 = 1. (falsa)
$A \leftrightarrow B$: “1 = 10 se somente se 10 = 1” (verdadeira, pois possuem valores lógicos iguais).
A tabela verdade é uma que podemos montar para calcular mais facilmente todas as possibilidades de proposições compostas formadas por proposições simples. Darei um exemplo de duas proposições simples (P e Q) usando todos os operadores lógicos:
| $P$ | $Q$ | $\neg P$ | $\neg Q$ | $P \land Q$ | $P \lor Q$ | $P \rightarrow Q$ | $Q \rightarrow P$ | $P \leftrightarrow Q$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | F | F | V | V | V | V | V |
| V | F | F | V | F | V | F | V | F |
| F | V | V | F | F | V | V | F | F |
| F | F | V | V | F | F | V | V | V |
Duas dicas para criá-la mais facilmente, seriam:
Observe a quantidade total do número de linhas. O número de linhas sempre será $2^n$, em que N é o número de proposições. Um exemplo com 3 proposições:
| $P$ | $Q$ | $R$ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | V | F |
| V | F | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | V | F |
| F | F | V |
| F | F | F |
2³ = 8 linhas (9 se contar o título).
Para criar todas as possibilidades, a primeira proposição terá a metade de linhas como verdadeira e a metade como falsa. A segunda proposição terá a metade de linhas que a primeira é verdade como falsa e a segunda como verdadeira. Basta fazer isso ficar se repetindo.
| Operador lógico | Prioridade |
|---|---|
| $()$ | 1 |
| $\neg$ | 2 |
| $\land$ | 3 |
| $\lor$ | 4 |
| $\rightarrow$ | 5 |
| $\leftrightarrow$ | 6 |
| --- | --- | --- |
Tautologia é toda proposição composta que só pode ser verdadeira. Já contradição é toda proposição composta que só pode ser falsa. Já uma contingência (ou indeterminação) é quando uma proposição composta pode ser verdadeira ou falsa.
Um exemplo de proposição tautológica (ou logicamente verdadeira) :
$P \lor \neg P$
| --- | --- | --- |
$P \land \neg P$
| --- | --- | --- |
Um exemplo de uma proposição contingente (ou indeterminada):
Um exemplo de proposição contraválida (ou logicamente falsa):
$P \land P$
| --- | --- |
Implicação lógica e equivalência lógica usam os dois últimos operadores apresentados, respectivamente.
Se uma afirmativa for verdadeira, outra também será, mas se ela for falsa, a outra pode ser ou não verdadeira. Exatamente assim:
$P \Longrightarrow Q$
Se uma afirmativa for verdadeira, outra também será, mas se ela for falsa, a outra também será falsa. Exatamente assim:
$P \iff Q$
Um exemplo disso mais aplicado, seria esse: