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Conhecimentos necessários:
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Determinante de uma matriz quadrada é um número que passa por diversos cálculos para ser encontrado.
Determinante de uma matriz 1 x 1 é igual ao único número que há dentro da matriz. Nem precisa fazer cálculo algum!
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é igual ao produto da diagonal principal subtraído do produto da diagonal secundária. Um exemplo de como isso é feito:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$
Determinante de A é $1 \cdot 3 - 2 \cdot 5 = 3 - 10 = -7$
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 já é mais complicadinha, mas nada muito difícil!
Com uma matriz dessas, você vai duplicar as duas primeiras colunas criando duas colunas novas na frente, depois irá multiplicar os elementos da diagonal principal e somá-los com os produtos das duas diagonais paralelos do lado direito. Após isso, basta pegar esse valor e subtrair o produto da diagonal secundárias e suas diagonais paralelas do lado direito.
Ficou meio confuso, né? Irei dar um exemplo:
Observe essa matriz 3 x 3: $A = \begin{bmatrix} 1 & 9 & 5 \\ 3 & 7 & 8 \\ 10 & 4 & 2 \end{bmatrix}$
Agora iremos duplicar as duas primeiras colunas, meio que criando uma matriz 3 x 5:
$\begin{bmatrix} 1 & 9 & 5 & 1 & 9 \\ 3 & 7 & 8 & 3 & 7\\ 10 & 4 & 2 & 10 & 4 \end{bmatrix}$
Agora observe as diagonais que tem meio que 3 diagonais que vão de cima para baixo: (1, 7 e 2), (9, 8 e 10) e (5, 3 e 4). Essas diagonais vamos usar os números para multiplicar e somar.
E meio que tem 3 diagonais que vão de baixo para cima: (10, 7 e 5), (4, 8 e 1) e (2, 3 e 9). Essas diagonais vamos usar os números para multiplicar e somar.
Depois de todas essas contas, chegamos no determinante dessa matriz, que fica assim:
$Det(A) = (1 \cdot 7 \cdot 2) + (9 \cdot 8 \cdot 10) + (5 \cdot 3 \cdot 4) - (10 \cdot 7 \cdot 5) - (4 \cdot 8 \cdot 1) - (2 \cdot 3 \cdot 9)$
$Det(A) = 14 + 720 + 60 - 350 - 32 - 54 = 358$
“Regra de Sarrus” é o nome desse método!
Caso uma das linhas da matriz seja formada apenas por elementos iguais a 0, seu determinante também será 0.
Determinante do produto de duas matrizes é igual ao determinante da primeira matriz multiplicado pelo determinante da segunda matriz. Tipo assim:
$Det(A \cdot B) = Det(A) \cdot Det(B)$ (A e B são exemplo de matrizes quadradas).
O determinante de uma matriz que é construída trocando duas linhas (ou colunas) paralelas de outra matriz, seu determinante é igual ao determinante da matriz original com sinal invertido. Tipo assim:
$Det(A') = -Det(A)$ (aqui, A’ é a matriz A, mas com as linhas trocadas).
Se uma matriz tiver 2 ou mais linhas (ou colunas) iguais ou proporcionais, seu determinante será zero. Um exemplo:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$
Essa matriz não possui nenhuma linha igual, mas a primeira linha é proporcional à segunda, então seu determinante será zero.
Determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua matriz transposta. Tipo assim:
$Det(A) = Det(A^T)$