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Conhecimentos necessários:
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Matrizes nada mais são do que uma tabela… sim, só isso mesmo!
As matrizes possuem um jeitinho de serem representadas, ordenadas por linhas e colunas em um campo cercado por dois colchetes ou dois parentes. Um exemplo de uma matriz:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$
Dizemos que essa matriz é uma matriz 3x3, porque ela tem 3 linhas e três colunas. Já a matriz a seguir, é o exemplo de uma matriz 2x4:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{bmatrix}$
Ou seja, dizemos que as matrizes tem o formato de Linhas X Colunas. O mesmo vale para os exemplo dentro dela! Tipo o número 4: ele está na primeira linha e na quarta coluna, então ele está na posição 1x4.
Agora vamos supor a matriz A:
$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ Viu que os elementos tem sua localização no cantinho deles? É assim que funciona! Essa anotaçãozinha são os algarismos juntos, mas quando um deles é maior do que nove, aí separa por vírgula, assim: $a_{15, 7}$
Essas linhas são chamadas de $i$ e as colunas são chamadas de $j$. Isso se aplica em quase tudo!
Aí, essa matriz, ele é representada assim: $A = [a_{ij}]_{\text{3 x 3}}$.
As matrizes possuem vários tipos, são eles:
É quando o número de linhas é igual ao número de colunas, tipo quando elas tem o formato 1x1, 2x2, 3x3, 4x4, e assim por diante.
Como nesse tipo de matriz a quantidade de linhas são iguais à quantidade de colunas, geralmente dizemos que ela tem ordem N. Tipo assim:
“Uma matriz quadrada de ordem 4” (ou seja, uma matriz 4x4).
Aí também representamos assim: $A_4$ (ou seja, uma matriz 4x4).
Entendeu?
Aí nesse tipo de matriz, ela tem dois tipos de diagonais: a principal e a secundária: a principal é formado pelos elementos cujo o número da linha é igual ao número da coluna, então é basicamente do canto superior esquerdo até o canto inferior direito. Já a secundária é formada pelos elementos cujo $i + j = n + 1$, ou seja, do canto inferior esquerdo até o canto superior direito.
É uma matriz quadrada que todos os elementos da diagonal principal são números uns e os demais são zeros. Um exemplo:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
É uma matriz cujo todos os elementos são zeros. Só isso mesmo!
Geralmente ela é representada apenas pelo número zero ou pela letra O.
Por exemplo: a matriz quadrada de ordem 3 abaixo é nula:
$A_3 = 0$
Uma matriz é chamada de oposta de alguma outra quando todos os elementos dele forem iguais, mas com sinal invertido.
Por exemplo, a matriz B é a matriz oposta de A:
$A = \begin{bmatrix} 5 & -2\\ -7 & 0 \end{bmatrix}; B = \begin{bmatrix} -5 & 2\\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
Uma matriz transposta de outra matriz é quando pegamos a matriz original e fazemos as linhas virarem colunas e as colunas virarem linhas. Tipo assim:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}{\text{2 x 3}} ; A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}{\text{3 x 2}}$
Dizemos que duas matrizes são iguais quando possuem os mesmos elementos nas mesmas posições. Por exemplo:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} ; B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} ; C = \begin{bmatrix} -1 & -2 & -3\\ -4 & -5 & -6 \end{bmatrix}$
Ou seja, $A = B$ e $A \neq C$.
Para somar ou subtrair matrizes, basta fazermos a operação para cada elemento com linhas e colunas iguais. Tipo assim:
\begin{bmatrix} 10 & 14 & 6 \\ 22 & 0 & 2 \\ 4 & 16 & 18 \end{bmatrix}$
Agora com subtração:
O_{\text{3 x 3}} = 0$
Mas tem um ponto importante nisso tudo: só podemos somar e subtrair matrizes de mesmo tamanho, isso porque, se fossem de tamanhos diferentes, ficaria elementos fora da operação.
A multiplicação entre matrizes é um pouquinho diferente…
Ao multiplicar a matriz A com a matriz B, por exemplo, iremos multiplica cada elemento da primeira linha de A com cada elemento da primeira coluna de B, depois iremos somar tudo isso e obteremos o primeiro elemento da primeira linha e coluna da matriz final. Depois iremos multiplicar a primeira linha de A com a segunda coluna de B, obtendo o elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz final. Faremos isso até obtermos toda a matriz. Um exemplo:
\begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}$
Assim, calculamos essa matriz final.
Cuidado ao fazer multiplicações com as matrizes, verifique sempre algo antes: se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz da multiplicação. Caso não seja, é impossível realizar a multiplicação.
Ah! E a matriz final sempre terá um tamanho específico: número de linhas da primeira matriz e número de colunas da segunda matriz. Ou seja, de multiplicássemos $A_{\text{3 x 2}} \cdot B_{\text{2 x 5}}$, a matriz final teria o tamanho 3 x 5.
São equações que podemos fazer com as matrizes. De forma geral, são muito parecidas com equações simples. Um exemplo:
\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$
Aqui também podemos fazer aquele famoso “passar para o outro lado com o sinal contrário”:
\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$
Também podemos multiplicar matrizes por números, sabia?
\begin{bmatrix} 5 & 10 \\ 15 & 20 \end{bmatrix}$
Ou seja, é tipo multiplicar todos os elementos das matrizes por esse número.
Equações matriciais são simples, né? Mas tem uns pontos que devemos nos atentar:
Matriz inversa, também chamada de matriz invertível, é uma matriz que ao multiplicar por sua original resulta em uma matriz identidade. Tipo assim:
$A_n \cdot A^{-1}_n = I_n$
Ou seja, uma matriz quadrada multiplicada por sua matriz inversa resulta em uma matriz identidade de mesma ordem. Vou dar um exemplo disso:
$A_2 \cdot A^{-1}_2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Obs.: $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A$