<aside>
Conhecimentos necessários:
Matrizes (Geometria Analítica)
Determinantes (Geometria Analítica)
Sistemas lineares (ensino médio)
</aside>
<aside>
Navegação
</aside>
Mesmo conteúdo do ensino médio, só que estendido.
Equações lineares seguem sempre incógnitas somadas. Nesse formato:
$a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + ... + a_nx_n = b$
Um exemplo seria:
$5x + 2y + 3z = 15$
A solução das equações lineares são anotadas como $(x_1, x_2, x_3, ..., x_n)$
Usando o exemplo acima, sua solução poderia ser anotada assim: $(1, \frac{5}{2}, \frac{5}{3})$
Sistema de equações lineares seria várias equações lineares verídicas juntas, de forma que cada incógnita tenha o mesmo valor em todas as equações. Um exemplo de sistema de equações lineares:
$x + y = 3 \\ x - y = -1$
Nesse sistema, para todas as equações serem verídicas, X precisa valer 1 e Y precisa valer 2.
Nos sistemas de equações lineares, os valores do lado direito da igualdade são chamadas de termos independentes.
Para um sistema conseguir ser resolvido de forma a cada incógnita ter um valor real, o número de equações presentes precisa ser igual ou maior ao número de incógnitas. Por exemplo:
$x + y + z = 6 \\ x + y - z = 0$
Nesse sistema, não há como resolver de forma que cada incógnita tenha apenas um valor, pois há 3 incógnitas e apenas 2 equações. Poderia ser X = 2, Y = 1 e Z = 3, mas também poderia ser X = 3, Y = 0 e Z = 3. Podemos chutar vários valores, mas nunca teremos um valor único. Mas se o sistema fosse assim:
$x + y + z = 6 \\ x + y - z = 0 \\ x - y - z = -4$
Aí sim há como resolvê-lo por alguma dessas formas:
Consiste em acharmos o valor dependente de uma incógnita e substituirmos em outro equação. Um exemplo prático:
$x + y = 3 \\ x - y = -1$
Se X + Y = 3, X = 3 - Y, então podemos substituir X por isso na outra equação:
$x - y = -1$ fica: $3 - y - y = -1$, aí basta resolvermos a equação simples:
$3 - y - y = -1 \\ -2y = -1 -3 \\ y = \dfrac{-4}{-2} \\ y = 2$
Descobrindo o valor de Y, basta substituir em qualquer equação para encontrar o valor de X:
$x + y = 3 \\ x + 2 = 3 \\ x = 3 - 2 = 1$
Assim, resolvemos!
Mas e se fosse um sistema com 3 incógnitas? Fazemos a mesma coisa, mas usando as 3 equações! Outro exemplo prático:
$x + y + z = 6 \\ x + 2y - z = 2 \\ x - y - z = -4$
Se X + Y + Z = 6, então X = 6 - Z - Y, aí basta substituir na segunda equação:
$x + 2y - z = 2 \\ (6 - z - y) + 2y - z = 2 \\ y - 2z = -4$
Agora podemos tentar descobrir o valor dependente de Y:
$y - 2z = -4 \\ y = -4 +2z$
Agora basta substituirmos X e Y na última equação:
$x - y - z = -4 \\ (6 - z - y) - (-4 + 2z) - z = -4$ (substituindo o primeiro Y e o X) $(6 - z - (-4 + 2z)) - (-4 + 2z) - z = -4$ (substituindo o segundo Y (aquele que veio ao substituir o X)) $-6z = -18 \\ z = \dfrac{-18}{-6} \\ z = 3$
Agora podemos substituir Z e X na segunda equação para descobrir o valor de Y:
$x + 2y - 3 = 2 \\ (6 - 3 - y) + 2y - 3 = 2 \\ y - 6 = -4 \\ y = -4 + 6 = 2$
Agora podemos substituir Y e Z em qualquer equação para descobrir o valor de X:
$x + y + z = 6 \\ x + 2 + 3 = 6 \\ x = 6 - 2 - 3 = 1$
Assim, descobrimos todos os valores das incógnitas!
Consiste em multiplicar uma ou mais equações e somá-las, para assim anular uma incógnita e acharmos o valor da outra. Um exemplo: $3x + 2y = 12 \\ 7x + y = 17$
Tentarei anular a incógnita X. Para isso, multiplicarei tudo da primeira equação por -7 e tudo da segunda equação por 3, para uma equação ficar com -21X e a outra com 21X e, assim, quando somá-las, ficará 0X, ou seja, ele será apagado. O sistema ficará assim:
$3x \cdot (-7) + 2y \cdot (-7) = 12 \cdot (-7) \\ 7x \cdot 3 + y \cdot 3 = 17 \cdot 3$
Aplicando as multiplicações, fica:
$-21x -14y = -84 \\ 21x + 3y = 51$
Agora basta juntar tudo pela adição e descobrir o valor de Y:
$-21x -14y + 21x + 3y = -84 + 51 \\ -11y = -33 \\ y = \dfrac{-33}{-11} \\ y = 3$
Agora basta substituir Y por 3 em qualquer uma das equações: $3x + 2y = 12 \\ 3x + 2 \cdot 3 = 12 \\ 3x + 6 = 12 \\ 3x = 6 \\ x = \dfrac{6}{3} \\ x = 2$
Assim também descobrimos o valor das duas incógnitas!
Consiste em isolar uma incógnita nas equações e igualar o resultado de ambas. Um exemplo prático:
$x + 3y = 11 \\ 2x - y = 8$
Agora vamos isolar a incógnita em ambas as equações:
Primeira equação:
$x + 3y = 11 \\ x = 11 - 3y$
Segunda equação: $2x - y = 8 \\ 2x = 8 + y \\ x = \dfrac{8 + y}{2}$
Se X possui, ao mesmo tempo, esses dois resultados, eles só podem ser iguais, então podemos igualá-los e descobrir o valor de Y!
$11 - 3y = \dfrac{8 + y}{2} \\ 2 \cdot (11 - 3y) = \cancel2 \cdot (\dfrac{8 + y}{\cancel2}) \\ 22 - 6y = 8 + y \\ -6y - y = 8 - 22 \\ -7y = -14 \\ y = \dfrac{-14}{-7} \\ y = 2$
Agora basta substituirmos Y por 2 em alguma das equações do sistema:
$2x - y = 8 \\ 2x - 2 = 8 \\ 2x = 10 \\ x = \dfrac{10}{2} \\ x = 5$
Assim, descobrimos os valores das duas incógnitas!
É uma forma de resolver sistemas que consiste em deixá-los escalonados… mas o que seria um sistema escalonado?
É basicamente quando as equações formam uma escada, de forma que as equações em baixo perdem incógnitas. Tipo assim:
$3x + 2y + z = 10 \\ y + 3z = 11 \\ 2z = 6$
Tá vendo que cada equação foi perdendo uma incógnita? A primeira tinha 3, já a segunda tinha 2 e a terceira tinha apenas 1.
Dessa forma, fica muito mais fácil de resolver o sistema, pois como no final resta apenas um $2z = 6$, fica muito mais fácil de determinar o valor de cada incógnita
Há 3 classificações para os sistemas:
Para saber a classificação de cada sistema, podemos transformá-lo em uma matriz e calcular seus determinantes. Um exemplo prático:
$3x + 2y = 17 \\ x + y = 7$
Aqui podemos formar 3 matrizes quadradas diferentes e, consequentemente, obter 3 determinantes diferentes, que chamaremos de $D$, $D_x$ e $D_y$.
A primeira matriz construímos pegando os números que multiplicam as incógnitas, então nesse exemplo ficaria assim: $\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
Sua determinante seria o $D$, que é igual a $3 \cdot 1 - 1 \cdot 2 = 3 - 2 = 1$.
A segunda matriz obtemos ao substituir a coluna dos números que multiplicam X pelos resultados das equações. Então fica assim:
$\begin{bmatrix} 17 & 2 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}$
Sua determinante seria o $D_x$, que é igual a $17 \cdot 1 - 7 \cdot 2 = 17 - 14 = 3$.
A terceira matriz obtemos ao substituir a coluna dos números que multiplicam Y pelos resultados das equações. Então fica assim:
$\begin{bmatrix} 3 & 17 \\ 1 & 7 \end{bmatrix}$
Sua determinante seria o $D_y$, que é igual a $3 \cdot 7 - 1 \cdot 17 = 21 - 17 = 4$.
Agora, sabendo $D$, $D_x$ e $D_y$, podemos determinar sua classificação da seguinte forma:
Isso se aplica para qualquer número de incógnitas, apenas considerando também $D_z\text{ , } D_w \text{ ... } D_n$.
Considerando a forma de calcular $D$, $D_x$ e $D_y$, para calcular o valor de cada incógnita, basta dividir sua determinante pela determinante da primeira matriz de todas (a principal). Usando o exemplo acima, ficaria assim:
$x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{3}{1} = 3$
$y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{4}{1} = 4$
Isso se aplica para quaisquer incógnitas. Tipo assim:
$z = \dfrac{D_z}{D} \\ \text{} \\ w = \dfrac{D_w}{D} \\ \text{} \\ \text{...} \\ \text{} \\ n = \dfrac{D_n}{D}$