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Conhecimentos necessários:
Determinantes (Geometria Analítica)
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Navegação
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Mesmo conteúdo da disciplina de geometria analítica, só que estendido.
Determinante de uma matriz 1 x 1 é igual ao único número que há dentro da matriz. Nem precisa fazer cálculo algum!
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é igual ao produto da diagonal principal subtraído do produto da diagonal secundária. Um exemplo de como isso é feito:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$
Determinante de A é $1 \cdot 3 - 2 \cdot 5 = 3 - 10 = -7$
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 já é mais complicadinha, mas nada muito difícil!
Com uma matriz dessas, você vai duplicar as duas primeiras colunas criando duas colunas novas na frente, depois irá multiplicar os elementos da diagonal principal e somá-los com os produtos das duas diagonais paralelos do lado direito. Após isso, basta pegar esse valor e subtrair o produto da diagonal secundárias e suas diagonais paralelas do lado direito.
Ficou meio confuso, né? Irei dar um exemplo:
Observe essa matriz 3 x 3: $A = \begin{bmatrix} 1 & 9 & 5 \\ 3 & 7 & 8 \\ 10 & 4 & 2 \end{bmatrix}$
Agora iremos duplicar as duas primeiras colunas, meio que criando uma matriz 3 x 5:
$\begin{bmatrix} 1 & 9 & 5 & 1 & 9 \\ 3 & 7 & 8 & 3 & 7\\ 10 & 4 & 2 & 10 & 4 \end{bmatrix}$
Agora observe as diagonais que tem meio que 3 diagonais que vão de cima para baixo: (1, 7 e 2), (9, 8 e 10) e (5, 3 e 4). Essas diagonais vamos usar os números para multiplicar e somar.
E meio que tem 3 diagonais que vão de baixo para cima: (10, 7 e 5), (4, 8 e 1) e (2, 3 e 9). Essas diagonais vamos usar os números para multiplicar e somar.
Depois de todas essas contas, chegamos no determinante dessa matriz, que fica assim:
$Det(A) = (1 \cdot 7 \cdot 2) + (9 \cdot 8 \cdot 10) + (5 \cdot 3 \cdot 4) - (10 \cdot 7 \cdot 5) - (4 \cdot 8 \cdot 1) - (2 \cdot 3 \cdot 9)$
$Det(A) = 14 + 720 + 60 - 350 - 32 - 54 = 358$
“Regra de Sarrus” é o nome desse método!
Caso uma das linhas da matriz seja formada apenas por elementos iguais a 0, seu determinante também será 0.
Determinante do produto de duas matrizes é igual ao determinante da primeira matriz multiplicado pelo determinante da segunda matriz. Tipo assim:
$Det(A \cdot B) = Det(A) \cdot Det(B)$ (A e B são exemplo de matrizes quadradas).
O determinante de uma matriz que é construída trocando duas linhas (ou colunas) paralelas de outra matriz, seu determinante é igual ao determinante da matriz original com sinal invertido. Tipo assim:
$Det(A') = -Det(A)$ (aqui, A’ é a matriz A, mas com as linhas trocadas).
Se uma matriz tiver 2 ou mais linhas (ou colunas) iguais ou proporcionais, seu determinante será zero. Um exemplo:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$
Essa matriz não possui nenhuma linha igual, mas a primeira linha é proporcional à segunda, então seu determinante será zero.
Determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua matriz transposta. Tipo assim:
$Det(A) = Det(A^T)$
Multiplicar uma linha ou coluna por uma constante de uma matriz faz ela ter o determinante igual determinante da matriz multiplicado por essa constante. Dessa forma:
$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} ; A' = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & k \cdot a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ $k \cdot Det(A) = Det(A')$
Sejam $L_1$, $L_2$ e $L_3$ três matrizes linhas obtidas das linhas $i_1$, $i_2$ e $i_3$, respectivamente, de uma matriz quadrada $M$ de ordem $n \ge 2$. Se $L_1 = \alpha \cdot L_2 + \beta \cdot L_3$, então $Det(M) = 0$.
Obs.: isso se aplica para linhas e colunas.
Considerando uma matriz qualquer $A_n$ (quadrada de ordem N), e sabendo da sexta propriedade também temos:
$Det(k \cdot A) = k^n \cdot Det(A)$
Menor complementar seria tipo o determinante de algum número da matriz. Para conseguir esse determinante desse número, basta apagarmos a sua linha e coluna e calcular o determinante do que sobrar na matriz. Por exemplo:
$\begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 5 & 2 & 1 \\ -3 & 7 & 1 \end{bmatrix}$
Vamos calcular $D_{22}$, para isso vamos ignorar a coluna 2 e a linha 2, sobrando isso na matriz:
$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
Agora basta calcularmos o determinante dessa nova matriz: $2 \cdot 1 - (-3) \cdot 3 = 2 + 9 = 11$. Ou seja, $D_{22} = 11$.
É basicamente o menor complementar, mas multiplicado por 1 ou -1. Se a soma das linhas e colunas de um elemento for par, o cofator desse elemento é o menor complementar multiplicado por 1, mas se a soma for ímpar, o cofator é o menor complementar multiplicado por -1.
Segue mais ou menos essa fórmula:
$A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{ij}$
Esse teorema permite calcular determinantes de uma forma diferente e até de matrizes quadradas de ordens maiores do que 3. Ele funciona da seguinte maneira:
Escolha uma linha da matriz e faça a soma dos produtos dos elementos pelo seus cofatores. Um exemplo:
$\begin{bmatrix} 4 & 5 & -3 & 0 \\ 2 & -1 & 3 & 1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 5 \\ \end{bmatrix}$
Escolhendo a primeira linha, fica assim:
$4 \cdot C_{11} + 5 \cdot C_{12} + (-3) \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14}$
Podemos ignorar o último cofator, pois ele está sendo multiplicado por zero. Então os 3 cofatores restantes ficam assim:
$C_{11} = \begin{bmatrix} -1 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 5 \\ \end{bmatrix} \cdot (-1)^{1+1} = 41 \cdot 1 = 41$
$C_{12} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \\ \end{bmatrix} \cdot (-1)^{1+2} = 7 \cdot (-1) = -7$
$C_{13} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix} \cdot (-1)^{1+3} = (-27) \cdot 1 = -27$
Sabendo disso, a expressão inicial fica assim:
$4 \cdot 41 + 5 \cdot (-7) + (-3) \cdot (-27) = 164 + (-35) + 81 = 210$
Ou seja, o determinante dessa matriz quadrada de ordem 4 é 210.
Obs.: O cofator de um elemento qualquer $a_{ij}$ pode ser representado por $A_{ij}$ ou $C_{ij}$.
A soma dos produtos dos elementos de uma linha qualquer de uma matriz M, ordenadamente, pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela, é igual a zero. Por exemplo:
$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}$
$a_{11} \cdot C_{21} + a_{12} \cdot C_{22} + a_{13} \cdot C_{23} = 0$
Pegando uma fila qualquer e somando à outra fila paralela multiplicada por uma constante, obteremos outra matriz com o mesmo determinante. Tipo assim:
Det (\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & (a_{13} + k \cdot a_{12}) \\ a_{21} & a_{22} & (a_{23} + k \cdot a_{22}) \\ a_{31} & a_{32} & (a_{33} + k \cdot a_{32}) \\ \end{bmatrix})$
É toda matriz que um lado da diagonal principal é formado por elementos nulos.
Exemplos:
$\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & 0 & a_{44} \end{bmatrix}$
Esse tipo de matriz possui o determinante igual ao produto dos elementos da diagonal principal:
$Det(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix}) = 1 \cdot 5 \cdot 9 = 45$
Ou seja, o determinante sempre será $a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \cdot ... \cdot a_{nn}$
Podemos fazer escalonamento para encontrar o determinante de uma forma mais fácil, sempre obedecendo as operações elementares e as propriedades dos determinantes. Um exemplo:
$Det(\begin{bmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 9 & 5 & 1 \\ 7 & 0 & 3 \\ \end{bmatrix})$
$L1 = \frac12L1$
$2 \cdot Det(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 9 & 5 & 1 \\ 7 & 0 & 3 \\ \end{bmatrix})$
$L2 = L2 - 9L1$
$2 \cdot Det(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & -13 & -35 \\ 7 & 0 & 3 \\ \end{bmatrix})$